¿Por qué es el functor de tensor de coalgebra derecho medico adjunto del olvidadizo functor?

Question

Deje $\mathbf{NCoalg}$ ser la categoría de no-unital coassociative conilpotent coalgebras (donde "conilpotent" significa que para cualquier elemento existe un poder de comultiplication que se desvanece en este elemento). Tenemos un olvidadizo functor $\mathbf{NCoalg} \to \mathbf{Vect}$. Al parecer, el derecho adjoint tiene que ser el functor de no unital tensor de coalgebra: $$T(V)=V\oplus V^{\otimes 2}\oplus V^{\otimes3}\oplus \cdots ,$$ $$ \Delta(v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_n) = (v_1)\otimes(v_2\otimes\cdots\otimes v_n)+\cdots+(v_1 \otimes\cdots\otimes v_{n-1})\otimes(v_n).$$

De hecho, vamos a $C$ ser un coalgebra y $V$ un espacio vectorial. Considere la posibilidad de un lineal mapa de $f: C \to V$. Nos gustaría definir un coalgebra mapa de $\tilde{f}:C\to T(V)$ como sigue: $$ c \mapsto f(c)+f^{\otimes2}\Delta(c)+f^{\otimes3}\Delta^2(c)+\cdots. $$

La suma es en realidad finita debido a que $C$ es conilpotent.

Sin embargo, ¿cómo puedo demostrar que $\tilde{f}^{\otimes2}\Delta(c)=\Delta(\tilde{f}(c))$? Supongo que se puede hacer con algunos abominable coordenadas, pero se encontraba demasiado abominable y no podía romper. Hay una manera mejor (más categórica tal vez)?

Answer 1

En realidad no es tan difícil, pero se necesita un poco de cuidado (para la gente como yo, que trabajo con coalgebras contra-intuitivo :) ).

Todo se reduce al hecho de que si $\Delta(c) = \sum_i x_i\otimes y_i$ $$\Delta\left(f^{\otimes (n+2)}\Delta^{n+1}(c)\right) = \sum_i \sum_{p+q=n} \left(f^{\otimes (p+1)}\Delta^p(x_i)\right)\otimes \left(f^{\otimes (q+1)}\Delta^q(y_i)\right).$$

De hecho, coassociativity le dice que en $C^{\otimes (n+2)}$, $\Delta^{n+1}(c) = \sum_i \Delta^p(x_i)\otimes \Delta^q(y_i)$ para cualquier $p,q$ tal que $p+q = n$, cuando identifique $C^{\otimes (n+2)} \simeq C^{\otimes (p+1)}\otimes C^{\otimes (q+1)}$.

Así que si llamamos a $\Phi_{p,q}: V^{\otimes (n+2)} \to V^{\otimes (p+1)}\otimes V^{\otimes (q+1)}$ el isomorfismo canónico consigue $\Phi_{p,q}\left(f^{\otimes (n+2)}\Delta^{n+1}(c)\right) = \sum_i \left(f^{\otimes (p+1)}\Delta^p(x_i)\right)\otimes \left( f^{\otimes (q+1)}\Delta^q(y_i)\right)$.

Pero ahora si $x\in V^{\otimes (n+2)}$$\Delta(x) = \sum_{p+q=n} \Phi_{p,q}(x)$, por definición, de modo que si se aplican $f^{\otimes(n+2)}$ $\Delta$ a la fórmula de arriba, que expresan la coassociativity, se obtiene la fórmula que se hizo hincapié en el principio.

Ahora sólo tenemos que desentrañar definiciones :

$$\begin{eqnarray*} \widetilde{f}^{\otimes 2}\Delta(c) & = & \sum_i \widetilde{f}(x_i)\otimes \widetilde{f}(y_i) \\ & = & \sum_i \left( \sum_{p\geqslant 0} f^{\otimes (p+1)}\Delta^p(x_i)\right)\otimes \left( \sum_{q\geqslant 0} f^{\otimes (q+1)}\Delta^q(y_i)\right) \\ & = & \sum_{n\geqslant 0} \sum_i \sum_{p+q=n} \left(f^{\otimes (p+1)}\Delta^p(x_i)\right)\otimes \left(f^{\otimes (q+1)}\Delta^q(y_i)\right) \\ & = & \sum_{n\geqslant 0} \Delta\left(f^{\otimes (n+2)}\Delta^{n+1}(c)\right) \\ & = & \sum_{n\geqslant 0} \Delta\left(f^{\otimes (n+1)}\Delta^n(c)\right) \\ & = & \Delta(\widetilde{f}(c)). \end{eqnarray*}$$