Mostrar que $x^{35}+\dfrac{20205}{2+x^{17}+\cos^2x}=100$ no tiene raíz $x\in \mathbb{R}$.
Por el trazado gráfico que he visto que no hay raíces para $x$. Puede alguien demostrar teóricamente?
Respuesta
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He aquí una respuesta, pero estoy seguro que no debe ser mejor.
Suponga $x \in \mathbb R$ a raíz de la ecuación dada. Reorganizar la ecuación como $$ (x^{35}-100) (x^{17}+2+\cos^2 x) = - 20205. $$ Deje $A := x^{35}-100$$B := x^{17}+2+\cos^2 x$. Desde $AB < 0$, exactamente uno de $A$ $B$ es positivo y el otro es negativo.
Si $B < 0$$A > 0$,$x^{35} > 100 > 0$, lo que implica que $x > 0$. Entonces podemos concluir que $B = x^{17}+2 + \cos^2 x > 0$, lo que contradice la hipótesis sobre el signo de $B$. Así que en este caso es imposible.
Nos quedamos con el caso de $A < 0$$B > 0$.
De $A < 0$, obtenemos $x^{35} < 100$. Por lo tanto,$x^{17} < 10$. Por lo tanto, $B = x^{17}+2+\cos^2 x \leq x^{17}+3 < 13$.
Del mismo modo, de $B > 0$, obtenemos $x^{17} > -2 - \cos^2 x \geq -3$. Por lo tanto, $A = x^{35} - 100 > (-3)^{3}-100 = -127$. En otras palabras, $|A| < 127$.
La multiplicación de los límites superiores en la $|A|$$B$, obtenemos $$|A \cdot B| = |A| \cdot B < 127 \cdot 13 = 1651 ,$$ lo que se contradice con la ecuación de $AB = - 20205$ empezamos con.
