Condición equivalente para la planitud de un módulo A (Atiyah-MacDonald ex. 2.26)

Question

Me gustaría resolver el siguiente ejercicio (2.26) del libro "Introduction to Commutative Algebra" de Atiyah & MacDonald:

Si $M$ es un $A$ -(donde $A$ es un anillo conmutativo), entonces: $$M \text{ is flat} \iff \text{Tor}_1(M,A/\mathfrak{a}) = 0 \text{ for all finitely generated ideals } \mathfrak{a}\subset A$$

Me las arreglé para demostrarlo: $$M \text{ flat } \iff \text{Tor}_1(M,A/\mathfrak{a}) = 0 \text{ for all ideals } \mathfrak{a}\subset A$$

Cualquier solución o sugerencia sobre cómo proceder sería muy apreciada.

Answer 1

Así que quieres demostrar que $\operatorname{Tor}_1(M,A/\mathfrak{a}) = 0$ para todos los ideales generados finitamente $\mathfrak{a} \subset A$ implica que $\operatorname{Tor}_1(M,A/\mathfrak{a})$ para todo ideales $\mathfrak{a} \subset A$ . Supongamos que tenemos tal ideal $\mathfrak{a}$ . El truco está en "aproximar $\mathfrak{a}$ por ideales finitamente generados escribiéndolo como un límite inductivo $\mathfrak{a} = \varinjlim \mathfrak{a}_n$ de ideales finitamente generados (esto siempre se puede hacer). Entonces, suponiendo que no me he convencido de nada falso, podemos escribir $\operatorname{Tor}_1(M,A/\mathfrak{a}) = \operatorname{Tor}_1(M,A/\varinjlim \mathfrak{a}_n) = \operatorname{Tor}_1(M,\varinjlim A/\mathfrak{a}_n) = \varinjlim \operatorname{Tor}_1(M,A/\mathfrak{a}_n)$ reduciendo así la cuestión al caso de generación finita. Ahora se puede utilizar la suposición de que cada $\operatorname{Tor}_1(M,A/\mathfrak{a}_n)$ desaparece.

(aviso: hace tiempo que no pienso mucho en el álgebra conmutativa, así que pido disculpas si he pasado por alto algo importante)