¿Es la incrustación de Sobolev $W^{l,2}( \mathbb {R}^d) \rightarrow C_0( \mathbb {R}^d)$ ¿compacto?

Question

En la página 508 del periódico: http://www.jstor.org/stable/2243484 se menciona que si $2l \geq d$ la incrustación $W^{l,2}( \mathbb {R}^d) \rightarrow C_0( \mathbb {R}^d)$ es compacto, donde $W^{l,2}( \mathbb {R}^d)$ es el $(l,2)-$ El espacio de Sobolev en $ \mathbb {R}^d$ y $C_0( \mathbb {R}^d)$ es el espacio de las funciones continuas $ \mathbb {R}^d \rightarrow \mathbb {R}$ desapareciendo en el infinito.

He tratado de buscar en muchas referencias pero no he encontrado esto. Entonces, ¿es verdad o no?

Answer 1

No es cierto, creo que hay dos errores.

La primera es que usted hace no tienen la incrustación $$ \tag {1}W^{l,p}( \mathbb {R}^d) \subset C_o( \mathbb {R}^d)$$ en el caso crítico $lp=d$ . Puede encontrar más información sobre esto en el libro de Evans sobre PDE, 2ª edición, pág. 280 "El caso límite $p=n$ ".

El segundo error es que la incrustación (1), que se mantiene cuando $lp>d$ es no compacto. A saber, fijar una función $ \phi\in C^{ \infty }_c( \mathbb {R}^d)$ y un vector unitario $u \in \mathbb {S}^{d-1}$ . Defina $$ \phi_n (x)= \phi (x-nu).$$ Esta es una secuencia limitada en $W^{l,p}( \mathbb {R}^d)$ que no tiene ninguna subsecuente uniformemente convergente, lo que significa que la incrustación (1) no es compacta.