¿Cómo evaluar $\lim_{ n\to \infty }\frac{a_n}{2^{n-1}}$, si $a_0=0$ y $a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n^2+1}$?

Question

Que $a_1,a_2,..,a_n$ ser secuencia de números reales tales que $a_{n+1}=a_{n}+\sqrt{1+a_n^2}$ y $a_0=0$.

¿Cómo evaluar $\lim_{ n\to \infty }\frac{a_n}{2^{n-1}}$?

Answer 1

Desde: $ #% de %#% y $$ \cot\frac{x}{2}=\cot x+\sqrt{1+\cot^2 x} $ que tenemos, por inducción: $a_0=\cot\frac{\pi}{2}$ $ y el límite buscado es igual a $$ a_n = \cot\frac{\pi}{2^{n+1}} $.

Answer 2

Escriba $$ a_{n+1} = 2a_n + [\sqrt{1+a_n^2} - a_n], $ $ y tenga en cuenta que $\sqrt{1+a_n^2} - a_n \approx \frac{1}{2a_n}$. Así que en términos generales, $a_{n+1} \approx 2a_n$, por lo que $a_n/2^{n-1}$ acercarse un límite; Esto debe ser discutido más formalmente, pero os dejo los detalles. No hay ninguna razón en particular que el límite de tener una expresión agradable; cálculo de muestra que es aproximadamente 1.27323954473516.