Considere esta afirmación: "todo conjunto puede ser ordenado linealmente". ¿Podemos demostrarlo sin AC?
Respuestas
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Es más débil que el axioma de elección completo, pero implica el axioma de elección para conjuntos finitos. Se deduce, por ejemplo, del teorema de la extensión del ultrafiltro (equivalentemente, el teorema del ideal primo booleano o el teorema del producto de Tikhonov para los espacios de Hausdorff). Una prueba de estas implicaciones puede encontrarse en la Proposición 4.39 de Horst Herrlich, Axioma de elección Lecture Notes in Mathematics 1876, Springer, 2006.
DanV
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La independencia del principio de ordenación lineal fue dada por primera vez por Mostowski (en ZF+Atoms) y posteriormente por Halpern y Levy (ZF).
Los principios de ordenación lineal se investigaron más a fondo, y las implicaciones son las siguientes:
Todo conjunto puede estar bien ordenado $\implies$ Todo conjunto infinito puede ordenarse linealmente en un orden denso $\implies$ Todo conjunto puede ser ordenado linealmente.
Ninguno de estos principios puede ser revertido. Podemos añadir otro principio de elección en la cadena, llamado principio de Kinna-Wagner, que equivale a la afirmación de que todo conjunto puede ser mapeado en el conjunto de potencias de un ordinal. Este principio se encuentra estrictamente entre el primero (axioma de elección) y el segundo (orden lineal denso).
Aquí hay un interesante documento que demuestra y describe algunos de estos resultados:
David Pincus El principio de ordenación lineal densa . Revista de Lógica Simbólica , Vol. 62 , nº 2 (jun., 1997), pp. 438-456
También cabe destacar que todos estos principios no pueden demostrarse sin alguna forma del axioma de elección. Esto se sabe desde muy pronto, por ejemplo, si se tiene un conjunto que se puede dividir en una colección contable de pares, entonces ordenando linealmente este conjunto se obtiene una función de elección a partir de los pares, a saber, el punto mínimo de cada par.
Fue demostrado por Fraenkel (con átomos, y más tarde por Cohen sin átomos) que es consistente que un conjunto que puede ser particionado en pares, pero no tienen ninguna función de elección de los pares.
Se puede pensar que quizás ordenar linealmente un conjunto puede ser equivalente a elegir entre conjuntos finitos, pero esto tampoco es cierto. Es coherente que toda familia de conjuntos finitos admita una función de elección, pero hay conjuntos que no se pueden ordenar linealmente.
