Sé que esto se ha preguntado antes, en un montón de lugares, así que espero que sea cerrado como un duplicado en algún momento, pero me gustaría saber si mi propia prueba de obras. Si la prueba es incorrecta, por favor límite de respuestas a señalar los errores. Si la prueba es correcta, entonces los pensamientos en la mejora sería muy de agradecer.
Demostrar que $\Bbb Q$ no es el producto directo de dos no-trivial de los grupos.
—Aluffi ejercicio II.3.5.
Mi prueba
Supongamos que $\Bbb Q = G \times H$ ni $G$ ni $H$ trivial.
Primera nota de que $0_G$ es el único elemento de $G$ con finito de orden: Si $m\ne 0$$m\cdot g=0_G$,$m\cdot(g,0_H)=0_{G\times H}$, contradiciendo el hecho de que $\Bbb Q$ no tiene cero elementos finitos de orden.
Supongamos que para algunos $m\ne 0$ y algunos $n\ne 0$, $\pi_G(m/n)=0_G$. A continuación,$0_G=n\cdot\pi_G\left(\frac m n\right)=\pi_G\left(n\cdot\frac m n\right)=\pi_G(m)=m\cdot\pi_G(1)$.
Desde $\pi_G(1)$ tiene orden finito, llegamos a la conclusión de que $\pi_G(1)=0$. Desde $\Bbb Z=\langle 1\rangle$, $\pi_G$ los mapas de cada entero a $0_G$.
Ahora vamos a $a$ $b$ ser distinto de cero enteros. A continuación,$b\cdot\pi_G\left(\frac a b\right)=\pi_G\left(b\cdot \frac a b\right)=\pi_G(a)=0_G$. Como en el anterior, esto demuestra que $\pi_G\left(\frac a b\right)=0_G$.
Por lo tanto si $\pi_G$ no es una función inyectiva, entonces debe mapa de todo a $0_G$, lo $G$ será un trivial grupo. El mismo resultado se tiene para $\pi_H$. Puesto que, por hipótesis, $G$ $H$ son no triviales, $\pi_G$ $\pi_H$ son tanto inyectiva funciones, lo cual es imposible, por supuesto.
