¿Qué son los conjuntos abiertos relativos?

Question

Me encontré con lo siguiente:

Negación 15. Dejemos que $X$ sea un subconjunto de $\mathbb{R}$ . Un subconjunto $O \subset X$ se dice que está abierto en $X$ (o relativamente abierto en $X$ ) si para cada $x \in O$ existe $\epsilon = \epsilon(x) > 0$ tal que $N_\epsilon (x) \cap X \subset O$ .

¿Qué es? $\epsilon$ y $N_\epsilon (x)$ ? O más en general, ¿qué son los conjuntos relativamente abiertos?

Answer 1

Olvida tu definición anterior. La noción general es:

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, $A\subset X$ cualquier subconjunto. Un conjunto $U_A$ está relativamente abierto en $A$ si existe un conjunto abierto $U$ en $X$ tal que $U_A=U\cap A$ .

Creo que en su definición $N_\epsilon(x)$ se entiende que denota una vecindad abierta de radio $\epsilon$ de $x$ , es decir $(x-\epsilon,\ x+\epsilon)$ . Como puede ver, esto concuerda con la definición que le di anteriormente.

Answer 2

Recordemos que en general, $O$ es abierto si para cada $x\in O$ existe algún $\varepsilon>0$ tal que $N_\varepsilon(x)\subseteq O$ .

Ser abierto en relación con $X$ significa que existe un conjunto abierto $O'$ tal que $O=O'\cap X$ y, de forma equivalente, para cada $x\in O$ hay algo de $\varepsilon>0$ tal que $N_\varepsilon(x)\cap X\subseteq O$ .

Por ejemplo $O=\{0\}$ no está abierto en $\mathbb R$ pero si consideramos $X=\{0\}$ entonces para $\varepsilon=1$ tenemos que $N_\varepsilon(0)\cap X\subseteq O$ y, por lo tanto, está abierto en relación con $X$ .