¿Cómo se realiza esta función de transferencia con los OP-AMP?

Question

Esta es una pregunta de deberes.

Lo sé: Dada una función de transferencia de \$H(s)\$ a continuación, podemos realizarlo con un OP-AMP de la siguiente manera.

\$H(s)=-\dfrac{2}{s+2}=-\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{s}{4}+\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{Z_f}{Zi}=-\dfrac{\dfrac{R_f}{R_f*s*C_f+1}}{Rin}\$

donde \$R_{in}=R_f=\dfrac{1}{2}\Omega\$ y \$C_f=1\text{F}\$

Sin embargo, ahora que tengo que realizar una función de transferencia con números complejos, estoy desconcertado sobre cómo hacerlo. ¿Podría guiarme en la dirección correcta para realizar la siguiente función de transferencia utilizando OP-AMP(s)?

\$H(s)=\dfrac{1}{s + 0.383 + j*0.924}\$

La ecuación anterior es una parte de:

\$H(s)=\dfrac{1}{s^2 + 0.765*s + 1}=\dfrac{1}{s + 0.383 + j*0.924}*\dfrac{1}{s + 0.383 - j*0.924}\$

Nota: A grandes rasgos, tengo que realizar un HPF de 4º orden utilizando el método de descomposición en cascada (en serie). La función de transferencia normalizada del filtro se da como:

\$H(s)=\dfrac{s^4}{s^4 + 2.613*s^3 + 3.414*s^2 + 2.613*s + 1}\$

Esto se puede escribir como:

\$H(s)=\dfrac{s^2}{s^2 + 0.765*s + 1}*\dfrac{s^2}{s^2 + 1.848*s + 1}\$

\$=\frac{s}{s + 0.383 + j*0.924}*\frac{s}{s + 0.383 - j*0.924}*\frac{s}{s + 0.924 + i*0.383}*\frac{s}{s + 0.924 - i*0.383}\$

Answer 1

En lugar de considerar el problema como \$H(s)=\dfrac{1}{s + 0.383 + j*0.924}\$ Tómalo como..:

\$H(s)=\dfrac{s^2}{s^2 + 0.765*s + 1}\$ . Darse cuenta de esto es fácil, y ya lo hicieron Sallen y Key. Consideremos el siguiente circuito y la derivación de su función de transferencia:

Por la ley de la corriente de Kirchhoff (KCL) aplicada en el \$Vx\$ nodo,

\$\dfrac{Vin-Vx}{Z_1}=\dfrac{Vx-Vout}{Z_3}+\dfrac{Vx-V^+}{Z_2}\$ (Ecuación 1), donde \$V^+=V^-=Vout\$ debido a la retroalimentación negativa.

Además, aplicando KCL en la entrada no inversora del OP-AMP,

\$\dfrac{Vx-Vout}{Z_2}=\dfrac{Vout}{Z_4}\$ entonces: \$Vx=Vout*(\dfrac{Z_2}{Z_4}+1)\$

Si reescribimos todo esto en (Eq.1), entonces, obtenemos:

\$\dfrac{Vin-Vout*(\dfrac{Z_2}{Z_4}+1)}{Z_1}=\dfrac{Vout*(\dfrac{Z_2}{Z_4}+1)-Vout}{Z_3}+\dfrac{Vout*(\dfrac{Z_2}{Z_4}+1)-Vout}{Z_2}\$

Si reordenamos esta ecuación, acabaremos con:

\$\dfrac{Vout}{Vin}=\dfrac{Z_3*Z_4}{Z_1*Z_2+Z_3*(Z_1+Z_2)+Z_3*Z_4}\$

Si \$Z_1\$ y \$Z_2\$ se seleccionan como condensadores y otros como resistencias, tendremos:

\$\dfrac{Vout}{Vin}=\dfrac{R_3*R_4}{\dfrac{1}{s^2*C_1*C_2}+\dfrac{R_3*(C_1+C_2)}{s*C_1*C_2}+R_3*R_4}\$

Reordenando esto obtendremos una ecuación más significativa:

\$\dfrac{Vout}{Vin}=\dfrac{s^2*R_3*R_4*C_1*C_2}{s^2*R_3*R_4*C_1*C_2+s*R_3*(C_1+C_2)+1}\$

Dividiendo el numerador y el denominador con \$R_3*R_4*C_1*C_2\$ :

\$\dfrac{Vout}{Vin}=\dfrac{s^2}{s^2+s* \dfrac{R_3*(C_1+C_2)}{R_3*R_4*C_1*C_2}+\dfrac{1}{R_3*R_4*C_1*C_2}}\$

Simplificando esto a:

\$\dfrac{Vout}{Vin}=\dfrac{s^2}{s^2+s*\dfrac{C_1+C_2}{R_4*C_1*C_2}+\dfrac{1}{R_3*R_4*C_1*C_2}}=\dfrac{s^2}{s^2 + 0.765*s + 1}\$

Si seleccionamos \$C_1=C_2=1\text{F}\$ entonces \$R_4=2.6144\Omega\$ y \$R_3=0.3825\Omega\$ .

Answer 2

Buena pregunta. Ojalá fuera lo suficientemente brillante como para pensar en cosas tan fuera de campo como ésta. Así que siento decir que la respuesta es no, por dos razones:

1. El campo escalar, llámese $P(\mathbf{r})$ que buscas tiene que ser, por definición de un campo, una función del punto en el espacio $\mathbf{r}$ solo, mientras que el par en el cuerpo depende tanto de $\mathbf{r}$ La forma del cuerpo, la distribución de la masa y la orientación del cuerpo.

2. Supongamos que se intenta superar este primer problema definiendo un campo escalar $P(\mathbf{r})$ que sólo tiene sentido para un cuerpo concreto (un "estándar de prueba") que está en una orientación "estándar" que es siempre la misma. Entonces, el "campo" de torsión para este cuerpo y orientación estándar en función de su centro de masa (o algún otro punto "estándar" dentro del cuerpo que defina su posición) $\mathbf{r}$ será $\mathbf{T}\left(\mathbf{r}\right) = \int_M \nabla V\left(\mathbf{r} + \mathbf{r}^\prime\right) \wedge \mathbf{r}^\prime \rho\left(\mathbf{r}^\prime\right) dV^\prime$ donde los vectores de posición primados son los dummies para la integración y la posición en el campo $\mathbf{r}$ "los compensa". $\rho$ es la distribución de la masa del cuerpo. Ahora bien, si este campo debe ser derivable a partir de un potencial escalar ( $\mathbf{T}\left(\mathbf{r}\right) = \nabla P(\mathbf{r})$ ) entonces una condición necesaria para ello es que $\nabla \wedge \mathbf{T} = \mathbf{0}$ (el rizo siempre aniquila el gradiente donde $\nabla \wedge \nabla$ existe). Entonces, si se calcula el rizo obtenemos $\nabla \wedge \mathbf{T}\left(\mathbf{r}\right) = \int_M \left[\mathbf{r}^\prime . \nabla\, \nabla V\left(\mathbf{r} + \mathbf{r}^\prime\right) - \mathbf{r}^\prime \nabla^2 V\left(\mathbf{r} + \mathbf{r}^\prime\right)\right]\rho\left(\mathbf{r}^\prime\right) dV^\prime$ que, a menos que esté muy equivocado, no es idéntico a cero para un potencial de fuerza escalar general $V$ por lo que, desgraciadamente, no se cumple la condición necesaria y el campo de par no es derivable de un potencial.

De nuevo, una gran idea y espero que esto ayude.

Editar después de la pregunta de Rody: "qué tal un potencial vectorial".

Un potencial vectorial ES posible, pero, como se ha dicho en el punto 1, sólo tiene sentido para el cuerpo concreto en cuestión en una orientación constante determinada.

Para demostrarlo, formamos la divergencia del "campo" del par:

$\nabla . \mathbf{T}\left(\mathbf{r}\right) = \int_M \left[\mathbf{r}^\prime . \nabla \wedge \nabla V\left(\mathbf{r} + \mathbf{r}^\prime\right) -\nabla V\left(\mathbf{r} + \mathbf{r}^\prime\right) . \nabla \wedge \mathbf{r}^\prime\right]\rho\left(\mathbf{r}^\prime\right) dV^\prime = 0$ . Así que siempre hay un campo $\mathbf{A}$ tal que $\mathbf{T}\left(\mathbf{r}\right) = \nabla \wedge \mathbf{A}$ . La forma más fácil de visualizar esto es en el espacio tridimensional de Fourier. En el espacio de Fourier las operaciones $\nabla . ()$ y $\nabla \wedge ()$ se sustituyen por $i\,\mathbf{k} . ()$ y $i\,\mathbf{k} \wedge ()$ donde $\mathbf{k}$ es el "vector de onda" (triple de las tres variables de la transformada de Fourier $k_x$ , $k_y$ , $k_z$ ). Por lo tanto, un campo vectorial sin divergencia (también conocido como solenoide) en el espacio de Fourier es siempre ortogonal a $\mathbf{k}$ (es decir, ortogonal al vector de posición en el espacio de Fourier); dicho de otro modo, es tangente a las esferas centradas en el origen. Para este campo vectorial, en el espacio de Fourier tenemos $\mathbf{k} \wedge (\mathbf{k} \wedge \mathbf{\tilde{T}}) = k^2 \mathbf{\tilde{T}})$ y el rizo es invertible para este caso especial. Por lo tanto, para encontrar el campo vectorial $\mathbf{A}$ transformamos $\mathbf{T}$ al espacio de Fourier para obtener $\tilde{T}$ entonces la transformada de Fourier de $\mathbf{A}$ debe ser $\mathbf{\tilde{A}} = \frac{i}{k^2} \mathbf{k} \wedge \mathbf{\tilde{T}}$ y luego transformar de nuevo para obtener el potencial vectorial.