Demostrar que $\{n^2f\left(\frac{1}{n}\right)\}$ es limitado.

Question

Dejó, $f$ ser toda función tal que $|f\left(\frac{1}{n}\right)|\le \frac{1}{n^{3/2}}$ % todos $n\in \mathbb N$. Luego demostrar que $\{n^2f\left(\frac{1}{n}\right)\}$ es limitado.

De la relación encontramos que el $f(0)=0$. Como es todo así que usando el teorema de Taylor acerca de $f$ $z=0$ llegar, $$f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nz^n.$ $

Luego de la expresión del $n^2f(1/n)$ podría decir no que limita que $n^2f(1/n)$. ¿Cómo resuelve el problema de esta o cualquier otra forma?

¿Puede alguien dar alguna sugerencias?

Answer 1

Nota: $n^2f(\frac{1}{n}) = \sum_{k>0} a_kn^{2-k}$, donde sabemos que el puede excluir $a_0$ como ya se comentó.

Considerar esta suma término a término: para cada una de las $k>1$, es claro que el término $a_kn^{2-k}$ está delimitado en el límite, y para $k>2$, los límites de a $0$. A partir de esto se puede demostrar que los $|\sum_{k>1}a_kn^{2-k}|$ está acotada.

El único término que no está claramente delimitado es $a_1n^{2-1} = a_1n$, que es trivialmente $O(n)$.

Pero su condición muestra que $n^2f(\frac{1}{n})$$O(\sqrt{n})$. Así, vemos que la $a_1=0$, por lo que el $n^2f(\frac{1}{n})$ está acotada.

Esta es la idea, pero puede ser rigurosa con mucho cambio.

Answer 2

Sabemos que $f(0)=0.$ a menos que $f\equiv 0,$ allí será un primera serie de energía coeficiente es distinto de cero, decir $a_N.$ entonces podemos escribir $f(z) = z^Ng(z),$ donde $g$ es todo y el $g(0) = a_N.$ si $N=1, $ $|f(1/n)|$ es del orden de $1/n$ $n\to \infty,$ que contradice la hipótesis. Así $N\ge 2,$ dar la conclusión.