Diagonalización de una proyección

Question

Si tengo una proyección $T$ en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ ¿Cómo puedo demostrar que $T$ ¿es diagonalizable?

Answer 1

Si $T$ es una proyección, eso significa que hay un subespacio $W$ sobre el que se proyecta. Asigna cada vector en $W$ a sí mismo. Por lo tanto, cada vector en $W$ es un vector propio con valor propio $1$ . Todo vector que no esté en $W$ se asigna a un vector en $W$ . Tome cualquier vector $v$ y escribir $$ v = Tv + (v-Tv), $$ por lo que el primer término $Tv$ está en $W$ . Es fácil ver que el segundo término, $v-Tv$ está en el núcleo de $T$ el primer término se asigna a $Tv$ y el segundo se asigna a $Tv-T^2v$ . Pero como $Tv$ está en $W$ debe ser fijada por $T$ Así que $T^2v=Tv$ por lo tanto $T(v-TV)=0$ . De este modo, cada vector $v$ se escribe como la suma de un vector en $W$ que es un vector propio con valor propio $1$ y un vector en el núcleo de $T$ que es un vector propio con valor propio $0$ . Así que forme una base de todo el espacio tomando la unión de una base de $W$ y una base del núcleo de $T$ y la matriz de $T$ con respecto a esa base es $$ \begin{bmatrix} 1 \\ & 1 \\ & & 1 \\ & & & \ddots \\ & & & & 1 \\ & & & & & 0 \\ & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & 0 \end{bmatrix} $$ (y todas las entradas no diagonales son $0$ ) donde el número de $1$ s es la dimensión de $W$ y el número de $0$ s es la dimensión del núcleo de $T$ .

Answer 2

La respuesta de @Michael Hardy es agradable y completa. Me gustaría escribir cómo pienso en esta pregunta.

Dejemos que $P:{\mathbb R}^m\to{\mathbb R}^m$ sea la transformación de proyección. En teorema de la nulidad ,

$$\dim(\ker(P))+\dim(\operatorname{range}(P))=m $$ Por otro lado, por definición, $P^2=P$ lo que implica que los valores propios de $P$ son $\lambda=0$ o $1$ . No es difícil demostrar que $\ker(P)$ es el eigespacio de $\lambda=0$ y $\operatorname{range}(P)$ es el eigespacio de $\lambda=1$ . Por lo tanto, tenemos un conjunto independiente de $m$ vectores propios, lo que implica que $P$ es diagonalizable.

Answer 3

Si $P$ es una proyección y $J$ es la matriz de Jordan asociada a $P$ (es decir, para algunos no singulares $Q$ , $P=QJQ^{-1}$ ) entonces $$J^2=\left(Q^{-1}PQ\right)\left(Q^{-1}PQ\right)=Q^{-1}P^2Q=Q^{-1}PQ=J$$ Esto sólo es posible cuando $J$ es diagonal.

Answer 4

Si $T$ es una matriz diagonal con sólo unos o sólo ceros como entradas diagonales hemos terminado. Si no $$\mu_T=x^2-x=x(x-1)$$ es el polinomio mínimo de $T$ . Una matriz es diagonalizable si el polinomio mínimo es un producto de factores lineales distintos por pares, como es el caso. Los ceros del polinomio mínimo son los valores propios de $T$ . Son precisamente uno y cero.