Demostrar que si $n$ no es divisible por $5$ entonces $n^4 \equiv 1 \pmod{5}$

Question

Supongamos que $n$ es un número entero que no es divisible por $5$ . Demostrar que $n^4 \equiv 1 \pmod{5}$ .

Answer 1

Esta es una perspectiva de la teoría de grupos. El conjunto de enteros positivos menores y relativamente primos a $5$ forman un grupo bajo la multiplicación mod $5$ . Si $n$ no es divisible por $5$ entonces $n$ no es congruente con $0$ mod $5$ . De este modo, el mod de trabajo $5$ tenemos $n$ es congruente con una de $\{1,2,3,4\}$ que es precisamente el grupo mencionado anteriormente. El orden de este grupo es $4$ y como corolario del teorema de lagrange cualquier miembro del grupo elevado al $4^{th}$ debe ser el elemento de identidad, es decir $1$ . Por lo tanto, $n^4 \equiv 1$ mod $5$ .

Answer 2

$n^{4}-1 = (n^{2}-1)(n^{2}+1)$ y (mod $5$ ) tenemos $n^{2}+1 \equiv n^{2} - 5n +6 = (n-2)(n-3),$ mientras que también (mod $5$ ), tenemos $n^{2}-1 = (n-1)(n+1) \equiv (n-1)(n-4).$ Por lo tanto, tenemos $(n^{4}-1) \equiv (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) $ (mod $5$ ), y siempre que $n$ no es divisible por $5$ Uno de los $n-1,n-2,n-3,n-4$ es divisible por $5$ .

Answer 3

$$n \equiv \pm 1 \space\mathrm{or} \pm 2 \pmod 5$$

Por lo tanto,

$$n^4 \equiv (\pm 1)^4 \space\mathrm{or} \space(\pm 2)^4 \pmod 5 \\ \implies n^4 \equiv 1 \space\mathrm{or} \space 16 \pmod 5 \\ \therefore n^4 \equiv 1 \pmod 5$$

Answer 4

El pequeño teorema de Fermat proporciona una manera fácil.

Pero si no estás del todo convencido, considera los cuadrados módulo 5: $0, 1, 4, 4, 1$ . Luego los cubos: $0, 1, 3, 2, 4$ . Entonces los cuartos poderes: $0, 1, 1, 1, 1$ . Voilà.

Answer 5

$$n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)$$

Desde $\;n\neq0\pmod 5\;$ , si es que lo es $\;\pm1\pmod 5\;$ lo anterior es $\;0\pmod 5\;$ y si es $\;n=\pm 2\pmod 5\;$ entonces $\;n^2=(\pm2)^2=4\implies n^2+1=0\pmod 5\;$ .

En cualquier caso, $\;n^4-1=0\pmod 5\;$