Demostrar que si $n$ no es divisible por $5$ entonces $n^4 \equiv 1 \pmod{5}$

Question

Supongamos que $n$ es un número entero que no es divisible por $5$ . Demostrar que $n^4 \equiv 1 \pmod{5}$ .

Answer 1

Una forma de obtener el resultado es aplicar el Teorema de Euler : $\varphi(5)=4$ y $\gcd(n,5)=1$ así que $n^{4}\equiv 1\pmod 5$ .

Answer 2

Además, puede demostrar que $5|n^5-n$ por inducción en $n$ y a partir de esto concluir la afirmación.

Answer 3

Sugerencia

Basta con considerar los casos $n=1,2,3$ o $4$ .

Answer 4

He aquí una forma especialmente bonita de demostrar esta afirmación. Es bonita porque utiliza la combinatoria para demostrar un resultado esencialmente teórico de los números. Empezamos con el problema:

Supongamos que quieres hacer un collar con $5$ cuentas, y puedes pintar cada una de ellas con una de $n$ colores disponibles. ¿Cuál es el número de collares diferentes que puedes tener? (Los collares que se pueden obtener de otros collares en rotación se consideran iguales)

Podríamos quedarnos que hay $n$ diferentes formas de colorear la primera cuenta, $n$ diferentes formas de colorear el segundo, etcétera. Pero hay $5$ diferentes rotaciones para cada cuello. Por lo tanto, la respuesta debe ser $\frac{n^5}{5}$ ¿cierto? No, pero casi.

Por ejemplo, si todas las cuentas tienen un solo color, este collar no generará ningún otro collar bajo rotación. En cambio, si un collar tiene más de un color, entonces afirmamos que genera $5$ diferentes collares (incluida ella misma). Este no es un resultado inmediatamente obvio, así que lo demostraremos formalmente.

En efecto, dejemos que $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ sea un collar, donde $a_k$ es el color de la cuenta $k$ . Por supuesto, hay $i,j \in \Bbb{Z}$ tal que $a_i\neq a_j$ (considere los índices módulo $5$ ). Supongamos que giramos el collar por $r$ lugares. Afirmamos que $(a_1,a_2,...,a_5)=(a_{1+r},a_{2+r},...,a_{5+r})$ si y sólo si $r$ es un múltiplo de $5$ . Supongamos que no lo es, y $a_{i}=a_{i+r}$ para todos $i$ . Inductivamente, $a_i=a_{i+mr}$ , para $m\in\Bbb{Z}$ . Pero como estamos viendo los índices módulo $5$ , dejemos que $m=(j-i)\cdot r^{-1}$ donde $r^{-1}$ es la inversa de $r$ modulo $5$ (existe desde $5$ es primo y $5\nmid r$ ). Entonces $a_i=a_{i+mr}=a_{i+(j-i)r^{-1}r}=a_j$ para todos $i,j$ . Pero estamos asumiendo que hay $i,j \in \Bbb{Z}$ tal que $a_i\neq a_j$ . Absurdo.

Por lo tanto, el número de vías es realmente $\frac{n^5-n}{5}+n$ . El hecho agradable es que este número debe ser un entero (de forma bastante obvia), por lo que en particular $\frac{n^5-n}{5}=\frac{n(n^4-1)}{5}$ es un número entero. Si $5\nmid n$ entonces $\gcd(5,n)=1$ desde $5$ es primo, por lo tanto $5\mid n^4-1\Rightarrow n^4\equiv 1 \pmod 5$ . $\,\,\blacksquare$

Answer 5

Como Timbuc,

$$n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)=(n-1)(n+1)(n^2-4+5)$$

$$=\underbrace{(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)}+5(n-1)(n+1)$$

Como $n$ debe dividir exactamente uno de los cinco enteros consecutivos y $5\nmid n,(5,n)=1,$

$n$ debe dividir uno de los multiplicandos bajo el refuerzo