Demostrar que si $n$ no es divisible por $5$ entonces $n^4 \equiv 1 \pmod{5}$

Question

Supongamos que $n$ es un número entero que no es divisible por $5$ . Demostrar que $n^4 \equiv 1 \pmod{5}$ .

Answer 1

$$n^4-1 = (n-1)(n+1)(n^2+1)$$ Los factores $n-1$ y $n+1$ cuidar de $n \equiv \pm 1 \mod 5$ , mientras que si $n \equiv \pm 2 \mod 5$ , $n^2 + 1 \equiv 2^2 + 1 \equiv 0 \mod 5$ .

Answer 2

El producto de 5 números enteros consecutivos es, por supuesto, divisible por $5$ Así que $5|(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ . Si $5\not|n,$ entonces de la primalidad de $5$ tenemos \begin{align*} 5|(n-2)(n-1)(n+1)(n+2) & = (n^2-1)(n^2-4)\\ & = n^4 - 5n^2 +4\\ & = n^4 - 1 - 5(n^2 - 1) \end{align*} así que $5|n^4-1$ .

Answer 3

Yo enfocaría esto con una prueba por casos. Hay $5$ opciones para $n\pmod{5}$ :

Caso $n\equiv 0\pmod 5$ : No es posible por suposición.

Caso $n\equiv 1 \pmod 5$ : En este caso, observe que $n^4\equiv 1^4 \equiv 1 \pmod 5$

Caso $n\equiv 2 \pmod 5$ : (sigue... es similar...)

Caso ...

EDIT: esto supone que querías decir "divisible", no "un divisor".

Answer 4

El pequeño teorema de Fermat establece que si $p$ es primo, entonces para todo $n$ con $\gcd(n,p)=1$ tenemos $$n^{p-1} \equiv 1 \mod p.$$ En su caso tenemos $p=5$ .

Una prueba : Porque $\gcd(n,p)=1$ hay un número $m$ tal que $nm \equiv 1 \mod p$ . Esto significa que el mapa $f(x)=nx$ es una biyección en el conjunto $\{1,2,\dots, p-1\}$ a sí mismo, ya que existe un inverso $f^{-1}(x)=mx$ . Por lo tanto,

$$1n \cdot 2 n\cdots (p-1)n = 1 \cdot 2 \cdots (p-1) \mod p$$

porque el mismo conjunto de números mod $p$ se multiplica en cada lado. Vuelva a escribir

$$n^{p-1} (p-1)! \equiv (p-1)! \mod p$$

y cancelar el $(p-1)!$ términos, lo que podemos hacer porque cada número en $\{1,2,\dots, p-1\}$ es relativamente primo de $p$ y tiene un inverso.

Answer 5

Una forma de obtener el resultado es aplicar el Teorema de Euler : $\varphi(5)=4$ y $\gcd(n,5)=1$ así que $n^{4}\equiv 1\pmod 5$ .