¿Cómo se puede demostrar el axioma de la colección en ZFC sin usar el axioma de la Fundación?

Question

Decir que yo quiero probar el axioma(s) de la colección de el axioma(s) de reemplazo. Si usted tiene el axioma de fundación, entonces usted puede utilizar Scott truco para hacer esto.

Pero, supongamos que yo estoy trabajando en un contexto sin el axioma de fundación. ¿Cómo puedo demostrarlo? Ciertamente parece que debería ser posible usar el axioma de elección en su lugar. En particular, si se permite que el axioma de global elección, es muy fácil. Y si es posible con global de elección, ciertamente debería ser posible con la elección local ordinaria! Y, sin embargo, hasta ahora no he sido capaz de hacer que funcione (de nuevo, sin usar el axioma de fundación).

¿Cómo se puede demostrar la colección de reemplazo, sin usar la base, y sólo mediante ordinaria, la elección local?

Gracias a todos!

Answer 1

La respuesta es que no se puede.

En lugar de omitir la fundación, voy a añadir átomos. Se pueden sustituir por Quine átomos y tener los mismos resultados sin fundamentos a su gusto.

Construimos la misma permutación modelo como en esta respuesta: comienza con una clase adecuada de los átomos y global de la elección, y hacer que la clase de átomos que tienen sólo subconjuntos finitos mientras que la preservación de la elección local.

Ahora considere el predicado $\varphi(x,y)$ indica que $x<\omega$ $y$ es un conjunto de átomos, que es equinumerous con $x$. Desde $\omega$ es todavía un conjunto, y hemos finito de conjuntos de átomos en cada tamaño finito, $\forall x\in\omega\exists y(\varphi(x,y))$.

Sin embargo, si hay algo de $B$ tal que $B$ es un conjunto y para cada $x\in\omega$ hay algo de $y\in B$ tal que $\varphi(x,y)$ $\bigcup B$ es un conjunto infinito de átomos. Contradicción.