Ejemplos de functores que conserva los productos pero no ecualizadores, y viceversa.

Question

Cuáles son ejemplos sencillos, para el consumo del estudiante, de

1. Un functor que conserva los productos (o productos menos finitos) pero no de ecualizadores.
2. Un functor que conserva ecualizadores pero no productos.

Idealmente, sería bueno tener ejemplos razonablemente naturales que implican categorías razonablemente familiarizados y que no llame en conocimientos esotéricos.

Answer 1

Deje $S$ ser la categoría de conjuntos (y funciones), y deje $F$ ser el functor de $S$ $S$que envía el conjunto vacío a sí mismo y envía cada conjunto no vacío a un singleton (y actúa en los mapas de la única forma posible). Esto conserva los productos, pero no puede mantener el ecualizador de los dos mapas de un singleton para dos elemento del conjunto.

En el otro sentido, considerar el functor $G:S\to S$ que envía los objetos de $x$ $x\times 2$y envía los mapas de $f$ $f\times 1_2$(donde $2$ significa un 2-elemento de conjunto y $1_2$ es su mapa de identidad). Esto conserva ecualizadores pero se mete productos (incluso el vacío de producto 1).

Answer 2

Deje $R$ ser un anillo y deje $M$ ser una izquierda $R$-módulo. Tensoring con $M$ da un cocontinuous functor $(-) \otimes_R M$ desde la derecha $R$-a los módulos de abelian grupos. Conserva ecualizadores iff $M$ plano y conserva los productos de ffi $M$ es finitely presentados, a fin de

1. Encontrar un módulo que es finitely presentado pero no plana. Por ejemplo, podemos tomar $R = \mathbb{Z}, M = \mathbb{Z}_2$. La correspondiente functor toma un grupo abelian $A$ para el producto tensor $A \otimes \mathbb{Z}_2$. Esta conserva de los productos, pero no conserva el ecualizador del diagrama de $\mathbb{Z} \xrightarrow{0, 2} \mathbb{Z}$.

2. Encontrar un módulo que es plana pero no finitely presentado. Por ejemplo, podemos tomar $R = \mathbb{Z}, M = \mathbb{Q}$. La correspondiente functor toma un grupo abelian $A$ para el producto tensor $A \otimes \mathbb{Q}$. Esto conserva ecualizadores pero no conserva el producto de countably muchas copias de $\mathbb{Z}$.