Que $f$ ser una función de $C^2$ $[0,1]$ tal que
$f(0)=f(1)=f'(0)=0,f'(1)=1.$ Pruebe que
$\int_0^1[f''(x)]^2dx\ge4.$
Encontrar todos los $f$ para la igualdad de que se produzca.
Respuesta
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Primero un variacional argumento. Suponga que esta expresión es mínimo para una cierta función suave $f$. A continuación, vamos a $\delta: [0,1] \to \mathbb{R}$ dos veces diferenciable y tal que $\delta(0) = \delta'(0) = \delta'(1) = \delta(1) = 0$ y considerar la posibilidad de $f + t \cdot \delta$ para un número real $t$. Esta función también satisface las condiciones de contorno, por lo que
$$ \int_0^1 \left(f"(x) + t\cdot \delta"(x)\right)^2 dx $$
es mínimo para $t = 0$. Esto implica que
$$ \int_0^1 f"(x) \delta"(x) dx = 0. $$
Aplicar la integración parcial dos veces para obtener
$$ \int_0^1 f^{(4)}(x) \delta(x) dx = 0. $$
Ya que esta debe mantener para cualquier función $\delta$ se sigue que $f^{(4)}$ es idéntica a cero en $[0,1]$, por lo que debe ser un polinomio de grado a lo sumo tres. El único polinomio que satisface las condiciones de frontera, es
$$ f(x) = x^2 (x - 1). $$
Para esto $f$ obtener el límite inferior de la
$$ \int_0^1 \left(f"(x)\right)^2 dx = 4. $$
Este argumento ha producido un buen candidato mínimo de la función. Una vez que este candidato se encuentra la afirmación de la siguiente manera fácilmente. Deje $f$ ser el polinomio de arriba y tome $g \in C^2[0,1]$ satisfacer las condiciones de frontera, como se indica en el problema. A continuación, $g = f + (g - f)$ y si definimos $\delta = g - f$ $\delta$ tiene las propiedades asumido anteriormente. En particular, mediante la integración parcial, sabemos que
$$ \int_0^1"(x)\delta"(x) dx = 0. $$
Entonces
$$ \int_0^1\left(g"(x)\right)^2 dx = \int_0^1\left(f"(x) + \delta"(x)\right)^2 dx = 4 + \int_0^1 \left(\delta"(x)\right)^2 dx \geq 4 $$
con la igualdad sólo para $\delta'' = 0$. El segundo implica $\delta = 0$ desde $\delta'(0) = \delta(0) = 0$. Así que la igualdad sólo se mantiene cuando se $g = f$.
