Cómo resolver $x^3=-1$ ?

Question

Cómo resolver $x^3=-1$ ? Tengo lo siguiente: $x^3=-1$

$x=(-1)^{\frac{1}{3}}$

$x=\frac{(-1)^{\frac{1}{2}}}{(-1)^{\frac{1}{6}}}=\frac{i}{(-1)^{\frac{1}{6}}}$ ...

Answer 1

$x^3+1=0\implies (x+1)(x^2-x+1)=0$

Si $x+1=0,x=-1$

si no $x^2-x+1=0$ entonces $x=\frac{1±\sqrt{1-4}}{2\cdot1}=\frac{1±\sqrt3i}{2}$ utilizando el conocido Fórmula cuadrática .

Alternativamente, utilizando Identidad de Euler y Fórmula de Euler como las otras dos soluciones, para $x^n=-1=e^{i(2m+1)\pi}$ como $e^{i\pi}=-1$ donde $m$ cualquier número entero, $n$ es un número natural .

Sabemos que $n$ -tiene exactamente $n$ raíces, por lo que las raíces de $x^n+1=0$ son $e^{\frac{i(2m+1)\pi}{n}}=\cos\frac{(2m+1)\pi}{n}+i\sin \frac{(2m+1)\pi}{n}$ donde $m=0,1,2,...n-1$ . Es sólo habitual, no obligatorio que hayamos definido $m$ asumir este rango de valores, de hecho puede asumir cualquier $n$ valores incongruentes (por ejemplo, valores consecutivos como $r,r+1,...,r+n-1,$ donde r es cualquier número entero), la razón se explica a continuación.

(1)Utilizando Teorema de la raíz repetida , dejemos que $f(x)=x^n+R$ donde $n>1$ y $R 0\implies x0$

Así que.., $\frac{df}{dx}=nx^{n-1}, \frac{df}{dx}=0$ no tiene ninguna raíz distinta de cero.

Claramente, $f(x)=x^n+R$ no puede tener ninguna raíz repetida a menos que $R=0$

(2)Sea $e^{\frac{i(2a+1)\pi}{n}}=e^{\frac{i(2b+1)\pi}{n}}$ $\implies e^{\frac{2i(a-b)\pi}{n}}=1=e^{2k\pi i}$ donde $k$ es cualquier número entero.

$\implies a-b=kn\implies ab\pmod n$ por lo que cualquier $n$ valores incongruentes de $m$ nos dará esencialmente el mismo conjunto de n soluciones distintas.

Aquí $n=3$ así que, tomemos $m=0,1,2$ .

$m=0\implies \cos\frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}=\frac{1+i\sqrt3}{2} $

$m=1\implies \cos \pi+i\sin\pi=-1 $

$m=2\implies \cos\frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}=\frac{1-i\sqrt3}{2} $

Answer 2

Sea $x=a+bi$ donde $a$ y $b$ son reales. Entonces $(a+bi)^3 = -1$ . Expandiendo el lado izquierdo se obtiene $$a^3 +3a^2bi -3ab^2 -b^3i = -1.$$

Podemos separar las partes real e imaginaria de esta ecuación: $$\begin{align} a^3 -3ab^2 & = -1 \\ 3a^2b - b^3 & = 0 \end{align}$$

Tomando lo obvio $b=0$ solución nos da $a=-1$ y por tanto la solución real

$$x =-1.$$

Supongamos $b\ne 0$ . Entonces la segunda ecuación tiene $3a^2 = b^2$ Así que $b = \pm a\sqrt3$ . En $3a^2$ para $b^2$ en la primera ecuación da $$ a^3 - 9a^3 = -1$$ así que $a = \frac12.$ Desde $b = \pm a\sqrt3$ tenemos $b=\pm\frac{\sqrt3}2$ . Esto nos da las otras dos soluciones, a saber

$$x=\frac12 \pm\!\frac{\sqrt3}2i.$$

Answer 3

Establecer $\displaystyle x=re^{i \theta}$ . Así que $\displaystyle r^3e^{i3\theta}= x^3= -1= e^{i \pi}$ Por lo tanto $r^3=1$ y $3 \theta= \pi [2\pi]$ . Por fin, $r=1$ y $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3} \left[\frac{2\pi}{3} \right]$ así que tienes tres soluciones: $$x_1= e^{i \pi/3}= \frac{1}{2}+ i \frac{\sqrt{3}}{2}, \ x_2=e^{-i 2 \pi /3}= \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}, \ x_3= e^{i \pi}=-1.$$

Answer 4

Observe que $(e^{a i})^3 = e^{3 a i}$ y $-1=e^{\pi i}$ .

Answer 5

$$x^3=-1$$

$$x^3+1=0$$

$$(x+1)(x^2+1-x)=0$$

$$x=-1 \quad\text{or}\quad x^2-x+1=0$$

En $$x^2-x+1=0, x= \frac{-1(\pm\sqrt{-3})}{2}$$

$$x= \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \quad\text{and}\quad \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$

Que es igual a $e^{i2/3}$ y $e^{i2/3}$ respectivamente.