Estoy asumiendo aquí que el $x_{\lambda}$ son números reales. (Los números complejos estaría bien también-eso no importa. Esto fue escrito antes de la edición de mencionar topológicos, espacios vectoriales en general, y no he pensado en ese nivel de generalidad.)
En la primera parte de esta respuesta, vamos a ver cómo definir la convergencia de una suma indexado por un contable ordinal.
En la segunda parte de esta respuesta, vamos a ver que no hay manera de definir la convergencia de cualquier bien ordenada suma con una cantidad no numerable de no-cero términos (es fácil eliminar el caso de que todos los no-cero términos son positivos reales, pero de hecho, vamos a descartar cualquier valor distinto de cero en todas). Esto se hará a través de un axiomatization de la noción de convergencia de una bien ordenada suma.
CONTABLES ORDENADOS SUMAS
En esta parte, vamos a manejar bien ordenada sumas donde todos pero countably muchos de los términos se $0.$
Para los contables ordinales $\mu,$ la suma puede ser definida por inducción transfinita, de la siguiente manera:
$\sum_{\alpha<0}x_{\alpha}=0,$
$\sum_{\alpha<\mu}x_{\alpha}=(\sum_{\alpha<\beta}x_{\alpha})+x_\beta,$ si $\mu=\beta+1,$
y, por $\mu$ una contables límite ordinal,
$\sum_{\alpha<\mu}x_{\alpha}=z$ fib para cada función creciente $f\colon\omega\to\mu$ que es cofinal en $\mu,$ $z=\lim_{n\to\infty}\sum_{\alpha<f(n)}x_{\alpha}.$
Aquí es cómo extender a innumerables ordinales $\mu\!:$
$\sum_{\alpha<\mu}x_{\alpha}=z$ fib el conjunto $A=\lbrace \alpha < \mu \mid x_\alpha \ne 0\rbrace$ es contable y $z=\sum_{\alpha\in A}x_\alpha,$ en caso de que la última suma significa $\sum_{\alpha < (\text{order type of }A)}x_{\text{the }\alpha^{\text{th}}\text{ member of }A}.$
Por cierto, acaba de tomar el supremum de todos finito de sumas es la misma cosa para absolutamente convergente la serie, pero no para condicionalmente convergente la serie.
INNUMERABLES BIEN ORDENADA SUMAS
Vamos a ver que no hay manera de extender este útil a cualquier secuencia con una cantidad no numerable de no-cero términos.
Esto va más allá de la que fácilmente se observa hecho de que no hay manera de asignar una suma finita para cualquier incontable serie de positivos los números. Vamos a eliminar la posibilidad incluso de condicionalmente convergente la serie con una cantidad no numerable de no-cero de los términos; por lo que no puede tener cualquier convergente la serie con una cantidad no numerable de no-cero términos, incluso si algunos de ellos son negativos o tiene un no-cero de la parte imaginaria.
Deje $S$ ser $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C},$ y escribir ${}^\mu S$ para el conjunto de todas las funciones de $\mu$ $S.$
Vamos a realizar únicamente las siguientes suposiciones acerca de lo que la "convergencia" significa:
Para cada ordinal $\mu,$ tenemos un subconjunto $E_\mu$ ${}^\mu S$ y una función de $e_\mu \colon E_\mu \to S.$ Podemos decir que la suma de $\sum_{\alpha\lt\mu}x_\alpha$ converge iff $(x_\alpha)_{\alpha\lt\mu}\in E_\mu.$ Si $\sum_{\alpha\lt\mu}x_\alpha$ converge, entonces vamos a llamar a $e_\mu((x_\alpha)_{\alpha\lt\mu})$ el valor que la suma converge a y escribiremos $\sum_{\alpha\lt\mu} x_\alpha$ a la media de $e_\mu((x_\alpha)_{\alpha\lt\mu}).$
La suma de la secuencia vacía es $0.$
Para cada $\mu,$ $\sum_{\alpha<\mu+1}x_\alpha$ converge iff $\sum_{\alpha<\mu}x_\alpha$ converge, y $\sum_{\alpha<\mu+1}x_\alpha=(\sum_{\alpha<\mu}x_\alpha)+x_\mu.$
Si $\mu$ es un ordinal límite, a continuación, $\sum_{\alpha\lt\mu}$ converge a un valor de $L$ fib para cada $\varepsilon\gt 0,$ existe un ordinal $\gamma\lt\mu$ tal que para todos los $\beta,$ si $\gamma\lt\beta\lt\mu,$ $\lvert L-\sum_{\alpha\lt\beta}x_\mu \rvert \lt \varepsilon.$
Si la suma de $\sum_{\alpha\lt\mu} x_\alpha$ converge, entonces $\sum_{\alpha\lt\gamma} x_\alpha$ converge para cada $\gamma\lt\mu.$
Si la suma de $\sum_{\alpha\lt\mu} x_\alpha$ converge y si $A=\lbrace \alpha < \mu \mid x_\alpha \ne 0\rbrace,$ $\sum_{\alpha\in A} x_\alpha$ converge a la misma valor como $\sum_{\alpha\lt\mu} x_\alpha.$
Nuestra definición de la convergencia para los contables de la serie satisface las propiedades anteriormente mencionadas, y de hecho es la única definición de la convergencia para los contables de la serie de la satisfacción de esas propiedades.
Supongamos que tenemos una infinidad de secuencia $\sum_{\alpha\lt\mu} x_\alpha$ cuya suma converge (donde "converge" tiene un significado que cumpla con las condiciones del 1-6). Vamos a mostrar que todos, pero countably muchos $x_\alpha$ debe ser igual a $0.$
Supongamos que, por el contrario, una cantidad no numerable de $x_\alpha$ son no-cero. Deje $y_\alpha$ $\alpha^{\text{th}}$ elemento no nulo en la secuencia de $\langle x_\alpha \mid \alpha \lt \mu \rangle.$, Entonces, por las condiciones 5 y 6, $\sum_{\alpha\lt\omega_1} y_\alpha$ converge; deje que su valor se $L.$
Por la condición 4, para cada positivos racionales $q,$ existe $\gamma_q\lt\omega_1$ tal que para todo contables $\beta\gt\gamma_q,$ $\lvert L-\sum_{\alpha\lt\beta}y_\alpha \rvert \lt q.$
Desde el conjunto de los racionales es contable, hay una contables ordinal $\gamma$ mayor que todas las $\gamma_q$ $q$ racional y positivo. Pero entonces cualquier $\beta \ge \gamma$ satisface $\sum_{\alpha\lt\beta}y_\alpha=L,$ desde $\lvert L-\sum_{\alpha\lt\beta}y_\alpha \rvert$ es menos que cada número racional positivo. Condición 3 implica entonces que $$y_\gamma=(\sum_{\alpha\lt\gamma+1}y_\alpha)-(\sum_{\alpha\lt\gamma}y_\alpha)=L-L=0,$$ contradicting the fact that all the $y_\alpha$ no son cero.
