Quiero demostrar que si $f$ es no creciente y $f\in L_{1}([a,\infty),m)$ donde $m$ es una medida de Lebesgue, entonces $\lim_{t\to\infty} t f(t)=0$ . Hasta ahora he podido demostrar que $f\geq 0$ y que $\lim_{t\to\infty} f(t)=0$ . Como las funciones monótonas son diferenciables a.e. pensé en usar la integración por partes pero no pude llegar a nada con eso. Cualquier pista o sugerencia será muy apreciada.
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Alex Miller
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Mingo
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El resultado se puede demostrar utilizando la integración por partes, como sigue. Definamos la función $\alpha$ por $\alpha(x)=x$ , $x \geq a$ . Desde $f$ es monótona, es, en particular, de variación acotada. Ya que, además, $\alpha$ es continua, se puede aplicar el teorema de integración por partes para las integrales de Stieltjes y da $$ \int_a^t {f(x)\,d\alpha (x)} = f(t)\alpha (t) - f(a)\alpha (a) - \int_a^t {\alpha (x)\,df(x)} $$ (véase, por ejemplo, el ejemplo 6 aquí ). Por lo tanto, $$ tf(t) = \int_a^t {f(x)\,dx} + \int_a^t {x\,df(x)} + af(a). $$ Suponiendo (sin pérdida de generalidad) que $a > 0$ , $\int_a^t {x\,df(x)}$ es no creciente en $t$ (ya que $f$ es no creciente). Ya que, además, $\lim _{t \to \infty } \int_a^t {f(x)\,dx} \in \mathbb{R}$ y $tf(t) \geq 0$ para cualquier $t > a$ por lo que se deduce que $\lim _{t \to \infty } \int_a^t {x\,df(x)} \in \mathbb{R}$ (ya que este límite no puede ser $-\infty$ ). Por lo tanto, dejando $t \to \infty$ en la última ecuación, $$ \exists \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } tf(t): = c \ge 0. $$ Sin embargo, $c$ no puede ser mayor que $0$ , ya que de lo contrario $f(t) \sim c/t$ como $t \to \infty$ produce una contradicción con la integrabilidad de $f$ . Por lo tanto, $c=0$ y se demuestra el resultado.
