Pregunta sobre campos y cocientes de anillos polinomiales

Question

No veo cómo solucionar el problema siguiente:

Sea$R$ un anillo conmutativo y unitario. Si existe un polinomio monic$f(x) \in R[x]$ para que$R[x]/(f(x))$ sea un campo, muestre que$R$ es un campo. ¿Qué pasa si$f(x)$ no es monic?

No tengo ni idea de cómo probarlo. Veo que si$R$ es un campo y$f(x)$ un polinomio monico e irreducible en$R[X]$ entonces$\frac{R[x]}{(f(x))}$ es un campo, pero esa no es la pregunta!

Gracias de antemano por su ayuda

Answer 1

Deje $R$ ser un conmutativo unitario anillo. Si existe un monic polinomio $f\in R[X]$, de modo que $R[X]/(f)$ es un campo, entonces $R$ es un campo.

Primero vamos a remarcar que el grado de no-cero polinomios en el ideal de $(f)$ al menos $\deg f$. Ahora vamos a $a\in R$, $a\ne 0$. Queremos demostrar que $a$ es invertible en a $R$. El residuo de la clase de $a$$R[X]/(f)$, que se denota en lo que sigue, por $\hat a$, no es cero: si $\hat a=\hat 0$, $a\in(f)$ y desde $0=\deg a<\deg f$ obtenemos una contradicción. Desde $R[X]/(f)$ es un campo de ello se sigue que $\hat a$ es invertible en a $R[X]/(f)$, por lo que no es $g\in R[X]$ tal que $\hat a\hat g=\hat 1$, $ag-1\in(f)$. Ahora escribo $g=fq+r$$\deg r<\deg f$. A continuación,$ag-1=a(fq+r)-1=afq+ar-1\in (f)$, lo $ar-1\in (f)$. Pero $\deg ar\le\deg r<\deg f$, y por lo tanto, tenemos $ar=1$. En particular, $ar_0=1$ algunos $r_0\in R$. (Por supuesto, $r_0$$r(0)$.)

¿Qué acerca de si $f$ no monic?

A continuación, el resultado es false: tome $R=\mathbb Z/6\mathbb Z$, e $f=2X-1$. Tenemos $R[X]/(f)\simeq S^{-1}(\mathbb Z/6\mathbb Z)$ donde $S=\{1, 2, 4\}$, e $S^{-1}(\mathbb Z/6\mathbb Z)\simeq \mathbb Z/3\mathbb Z$ que es un campo.

Answer 2

Sugerencias:

En cualquier caso, podemos escribir los elementos de la $\;R[x]/I\;,\;\;I:=\langle f(x)\rangle\;$$\;g(x)+I\;,\;\;\deg g<\deg f\;$ , por lo que asumiendo $\;\deg f\ge 1\;$ ,tenemos que los elementos $\;r+I\in R[x]/I\;,\;\;0\neq r\in R\;$ son parte de un campo y desde $\;r+I\neq \overline 0=I\;$ , a continuación, todos ellos tienen inverso multiplicativo ...

Añadido en el OP de la solicitud: Las anteriores sugerencias de nosotros para buscar una posible incrustar $\;R\to R[x]/I\;,\;\;r\mapsto r+I$ (para esto necesito la suposición de que $\;R\;$ es un IDENTIFICADOR):

$$\forall\,r,s\in R\;,\;\;r+I=s+I\iff r-s\in I\;$$

sin embargo, cada elemento en $\;I\;$ es cero de grado $\;\ge\deg f\;$ (aquí la suposición de patadas), y por lo tanto $\;r-s=0\iff r=s\;$ y conseguimos nuestro incrustación.

Ahora,

$$0\neq r+I\in R/I\implies \exists\,s\in R\;\;s.t.\;\;(rs)+I=1+I\iff rs-1\in I$$

y de nuevo, como en el anterior, $\;rs=1\;$ y cada elemento no nulo de a $\;R\;$ tiene un inverso multiplicativo.

Ahora, sin la asunción de IDENTIFICACIÓN: como se indicó en uno de mis comentarios a continuación, tenemos que de$\;R\;$, no es un campo de ello se sigue que $\;I\;$ no puede ser un ideal maximal y por lo tanto el cociente del anillo no es un campo.

No estoy seguro de cómo, y si es posible, para deshacerse de la hipótesis anterior de ID para hacer que el enfoque de trabajo. Si tenemos suerte, que posiblemente podría ser que el usuario que se comenta más abajo y decidí no escribir una respuesta/pista/entrada sino más bien a la pregunta que esta respuesta va ahora nos conceda el honor de escribir una respuesta/comentario esclarecedor todos nosotros.

Answer 3

Permítanme tratar y aclarar la confusión en los comentarios debajo de DonAntonio respuesta, y tal vez por qué el monic suposición es crucial.

Desde $f$ es monic, $(f) \cap R = 0$. Por lo tanto la composición de la $R \to R[x] \to R[x]/(f)$ ha kernel $(f) \cap R = 0$, es decir, es inyectiva, por lo $R \hookrightarrow R[x]/(f)$ es un sub-anillo de un campo, por lo tanto es un dominio. Siguiente, $f$ monic dice exactamente eso $R \hookrightarrow R[x]/(f)$ es una parte integral de extensión. A continuación, $R$ es un dominio con $\dim R = \dim R[x]/(f) = 0$, por lo tanto es un campo.

Como un ejemplo donde esto no si $f$ no es monic, considere la posibilidad de $R = \mathbb{Z}_{(2)}$, $f = 2x - 1$. A continuación,$R$, no es un campo, sino $R[x]/(f) = \mathbb{Z}_{(2)}[x]/(2x-1) \cong \mathbb{Z}_{(2)}[\frac{1}{2}] \cong \mathbb{Q}$ es un campo (observe que este ejemplo está en el mismo espíritu que la dada por user26857: ambos son localizaciones en el principal abrir sets, que son campos).