Mostrar que$\sum_{n=1}^\infty \frac {\sqrt{a_n}}{n}$ converge si$\sum_{n=1}^\infty{a_n}$ proporciona que$a_n>0$

Question

Considere una secuencia convergente$\sum_{n=1}^\infty{a_n}$, con$a_n\ge 0$. Mostrar que la serie

$$\sum_{n=1}^\infty \frac {\sqrt{{a_n}}}{n} También converge.

Insinuación: $pq\le \frac 12(p^2+q^2)$

Answer 1

Sólo tienes que utilizar la pista con $p:=\sqrt{a_n}$$q:=\frac{1}{n}$, y el conocimiento de la convergencia de una serie especial.

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EDITAR:

Si usted tiene un monótonamente creciente secuencia $(x_n)$ que está delimitada desde arriba, a continuación, la secuencia converge a $\sup_{n\in\mathbb{N}}x_n< \infty$.

Ahora, considere la serie de $\sum_{n=1}^\infty \frac {\sqrt{{a_n}}}{n}$. Si usted dice que una serie converge, significa que la secuencia de $(s_N)$ de las sumas parciales converge, donde

$$s_N=\sum_{n=1}^N \frac {\sqrt{{a_n}}}{n}.$$

Obviamente, $(s_N)$ es monótonamente creciente (desde $s_{N+1}-s_N=\frac{\sqrt{a_{N+1}}}{N+1}>0$) y por la desigualdad que resulta de la pista que ha

$$s_N=\sum_{n=1}^N \frac {\sqrt{{a_n}}}{n}\leq\sum_{n=1}^N\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{n^2})< \frac{1}{2}(\sum_{n=1}^\infty a_n+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2})=\frac{1}{2}(A+\frac{\pi^2}{6})<\infty,$$

donde $A:=\sum_{n=1}^\infty a_n$.

Por lo $(s_N)$ es monótonamente creciente acotada de la secuencia y por lo tanto converge.

O ¿sabe usted la prueba de comparación? Usted puede discutir con esta aquí, si lo sabe.