Pruebalo $\frac{1}{2}\cot^{-1}\frac{2\sqrt[3]{4}+1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{\sqrt[3]{4}+1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{6}.$

Question

Prueba que$$ \frac{1}{2}\cot^{-1}\frac{2\sqrt[3]{4}+1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{\sqrt[3]{4}+1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{6}.

Answer 1

Utilice las siguientes identidades:
Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Answer 2

Dejar$y^3=4$ y$x^2=3$

Por lo tanto, necesitamos probar$\frac{1}{2}\cot^{-1}\frac{2y+1}{x}+\frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{y+1}{x}=\dfrac{\pi}{6}.$

O$3\cot^{-1}\frac{2y+1}{x}+2\tan^{-1}\frac{y+1}{x}=\pi$

O como$3(\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}\frac{2y+1}{x})+2\tan^{-1}\frac{y+1}{x}=\pi$ como%

O tenemos que probar,$\tan^{-1}a+\cot^{-1}a=\frac{\pi}{2}$

Como y $3\tan^{-1}\frac{2y+1}{x}-2\tan^{-1}\frac{y+1}{x}=\frac{\pi}{2}$

$2\tan^{-1}a=\tan^{-1}\frac{2a}{1-a^2}$ $3\tan^{-1}a=\tan^{-1}\frac{3a-a^3}{1-3a^2}$ como $2\tan^{-1}\frac{y+1}{x}=\tan^{-1}\frac{2x(y+1)}{x^2-(y+1)^2}$

$=\tan^{-1}\frac{-2x(y+1)}{y^2+2y-2}$ $x^2=3$ como y $3\tan^{-1}\frac{2y+1}{x}=\tan^{-1}\frac{3x^2(2y+1)-(2y+1)^3}{x(x^2-3(2y+1)^2)}$

O

Ahora si $=\tan^{-1}\frac{y^2-y+2}{x(y^2+y)}$, $x^2=3$

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Por lo tanto, necesitamos mostrar$y^3=4$ using$\tan^{-1}\frac{y^2-y+2}{x(y^2+y)}-\tan^{-1}\frac{-2x(y+1)}{y^2+2y-2}$ y$=\frac{\pi}{2}$

O$\tan^{-1}a-\tan^{-1}b=\frac{\pi}{2}$

Como $\tan^{-1}a=\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}b=\cot^{-1}(-b)=\tan^{-1}(-\frac{1}{b})$, $\implies ab=-1$

Y

Asi que, $\frac{y^2-y+2}{x(y^2+y)}\frac{-2x(y+1)}{y^2+2y-2}=-1$