Cómo determinar la serie para$ f(x) = \sqrt{1-\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1+x}}}} $ en torno a$0$?

Question

En el intento de responder a una reciente MSE-pregunta venía en el parcial del problema para determinar la potencia de la serie para la función de $$ f(x) = \sqrt{1-\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1+x}}}} $$

Yo no tenía éxito con el desarrollo de esta serie de mí, pero cuando me preguntó wolframalpha tengo este $$ \pequeño -(-1/2)^{3/4} x^{1/4} -{1 (-1/2)^{1/4} x^{3/4} \over 16} +{23 (-1/2)^{3/4} x^{5/4}\más de 256} +{81 (-1/2)^{1/4} x^{7/4} \más de 4096} -{5163 (-1/2)^{3/4} x^{9/4})\sobre 131072} -{23111 (-1/2)^{1/4} x^{11/4})\sobre 2097152} +{794707 (-1/2)^{3/4} x^{13/4}\over 33554432} +{3986865 (-1/2)^{1/4} x^{15/4} \over 536870912} -{563081651 (-1/2)^{3/4} x^{17/4}\over 34359738368} -{3029331403 (-1/2)^{1/4} x^{19/4} \over 549755813888} +{108017005065 (-1/2)^{3/4} x^{21/4} \over 8796093022208} +{610056649623 (-1/2)^{1/4} x^{23/4} \over 140737488355328} +O(x^{25/4}) $$

Esta expansión aún no tiene término constante, por lo que el punto fijo $x_0=0$ se convierte inmediatamente comprensible.
(Nota: Hay más fixpoints :$\small t\approx 0.222986+0.413364 i$$\small u\approx 0.222986-0.413364 i$ , véase también la respuesta de G Edgar en que la cuestión mencionada. El uso de ese complejo positivos punto fijo $t$, se puede obtener una potencia de serie sin término constante - pero con coeficientes complejos: $ \small f(x+t)-t = g(x) \approx 0.21947 x + (-0.10260 + 0.17758 i) x^2 + $ $\small (-0.13374 - 0.22046 i) x^3 + (0.37558 - 0.02179 i) x^4 + O(x^5)$ final comentario)

¿Cómo puede una expansión tal se encuentra? Cuando he usado Carlemanmatrices para resolver la función-composición me encontré con singularidades, y así cuando traté de obtener la primera derivada a cero, me encontré con el mismo singularidades - entonces, ¿cómo se ha hecho esto?

Answer 1

Pero, ¿qué tal el teorema del binomio?

Esto le da a $\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{1}{2} x - \dfrac{1}{8} x^2 + \dfrac{1}{16}x^3+ \cdots.$, con Lo que $$\sqrt{1-\sqrt{1+x}} = \sqrt{ -\dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{8}x^2 - \dfrac{1}{16} x^3+ \cdots} $$ $$= \sqrt{-\dfrac{x}{2}}\sqrt{1 - \dfrac{1}{4}{x} + \dfrac{1}{8} x^2+ \cdots} =(-\frac{x}{2})^{1/2}(1 - \dfrac{1}{8} x + \dfrac{7}{128} x^2 + \cdots),$$ la última igualdad es otra aplicación del teorema del binomio.

Suponiendo que el quiere una rama de $f(x)$ que es un valor real para al menos algunos de los verdaderos valores de $x$, observamos que la expresión es un valor real al $-1 < x \leq 0$, y se produce una respuesta positiva. Puesto que se va a sustituir este la expresión de regreso a $\sqrt{1 - \sqrt{ 1 + x}}$, se debe tomar la negativa de la rama de la segunda raíz cuadrada.

Así, podemos sustituir el negativo de esta expresión en sí misma en lugar de $x$, y así calcular que $$\sqrt{1 - \sqrt{1 + \sqrt{1 - \sqrt{1+x}}}} = \dfrac{(-x/2)^{1/4}(1 - x/8 + \cdots)^{1/2}}{2^{1/2}} ( 1 + \frac{1}{8}(-x/2)^{1/2} - \frac{7x}{256} + \cdots)$$ $$ = \dfrac{(-x)^{1/4}}{2^{3/4}}(1 -\frac{x}{16} + \cdots)(1 + \frac{(-x)^{1/2}}{2^{7/2}} -\frac{7x}{256} + \cdots) $$ $$ = \dfrac{(-x)^{1/4}}{2^{3/4}}(1 + \frac{(-x)^{1/2}}{2^{7/2}} - \frac{23}{256} x + \cdots).$$ (He bajado algunos términos, ya que con la aproximación hice al principio, el producto de las expresiones entre paréntesis sólo es válida hasta el segundo orden en $(-x)^{1/2}$. Si me había expandido más términos en el teorema del binomio al principio, yo no habría tenido más términos en la expresión final.)

Esto está de acuerdo con los tres primeros términos de la publicación de la respuesta, hasta algunos de los signos que tienen que ver con la elección de la rama. (Si yo hubiera sustituido la primera expresión en sí misma, sin necesidad de cambiar el signo a fin de obtener un valor real de la función de $x \leq 0$, yo creo que se ha conseguido una expresión que difiere de WA hasta un total de signo).