Para demostrar un haz vectorial $\xi$ es orientable $\iff w_1(\xi)=0$

Question

Lo hice de esta manera:

$\xi$ un $n$ -sobre un espacio topológico $M$ es orientable.

$\iff$ su máxima potencia exterior $\bigwedge^n\xi$ es trivial

$\iff$ el paquete de 1 marco $V_1(\bigwedge^n\xi)$ admite una sección

$\iff$ la clase de obstrucción $w_1(\bigwedge^n\xi)=\mathfrak o_1(\bigwedge^n\xi)\in H^1(M,\pi_0(V_1(\mathbb R)))$ se desvanece

¿Está bien el argumento hasta ahora?

Si es así, he probado $\xi$ es orientable $\iff w_1(\bigwedge^n\xi)=0$ . ¿Puede alguien ayudarme a probar $w_1(\bigwedge^n\xi)=w_1(\xi)$ ?

Si no, ¿cómo se puede argumentar?

Answer 1

Primero necesitamos algunos datos preliminares:

Dejemos que $G_n$ sea la variedad infinita de Grassmann, es decir, el conjunto de $n$ -subespacios dimensionales en $\mathbb R^\infty$

Sabemos que $G_n=V_n(\mathbb R^\infty)/O(n)$ . Sea $\widetilde G_n$ sea su doble cubierta $V_n(\mathbb R^\infty)/SO(n)$ . Sea $\gamma_n$ sea el haz canónico sobre $G_n$ y $\widetilde\gamma_n$ sea su retroceso bajo la proyección de cobertura.

1. Por las secuencias exactas de homotopía para haces de fibras $SO(n)\hookrightarrow V_n(\mathbb R^\infty)\rightarrow \widetilde G_n$ y $O(n)\hookrightarrow V_n(\mathbb R^\infty)\rightarrow G_n$ vemos que: $$\pi_1(\widetilde G_n)\cong\pi_0(SO(n))=0$$ y $$\pi_1(G_n)\cong\pi_0(O(n))=\mathbb Z_2$$ desde $V_k(\mathbb R^\infty)$ es contraíble.

2. También, como consecuencia: $H_1(G_n)=\mathbb Z_2$ De ahí que $H_1(G_n,\mathbb Z_2)\cong H_1(G_n)\otimes\mathbb Z_2=\mathbb Z_2$ , lo que implica $H^1(G_n,\mathbb Z_2)\cong\text{Hom}(H_1(G_n,\mathbb Z_2),\mathbb Z_2)=\mathbb Z_2$ (Ya que $\mathbb Z_2$ es un campo, es álgebra homológica elemental que el $\text{Ext}$ y el $\text{Tor}$ grupos en el Teorema del Coeficiente Universal desaparecen)

3. El mapa canónico $\pi_1(X)\rightarrow H_1(X)$ es una suryección y es por lo anterior, un isomorfismo cuando $\pi_1(X)=\mathbb Z_2$

Ahora lo demostramos:

Como siempre, tenemos un mapa $f:M\rightarrow G_n$ tal que $f^*\gamma_n=\xi$ , donde $\gamma_n$ es el haz canónico sobre $G_n$ (la fibra sobre un subespacio es el propio subespacio)

Supongamos que $w_1(\xi)=0$

Entonces, $f^*w_1(\gamma_n)=0$ (naturalidad de las clases de Steifel-Whitney)

$\Rightarrow f^*:H^1(G_n,\mathbb Z_2)\rightarrow H^1(M,\mathbb Z_2)$ es cero (porque $w_1(\gamma_n)$ genera $H^1(G_n,\mathbb Z_2)$ )

$\Rightarrow f_*:H_1(M,\mathbb Z_2)\rightarrow H_1(G_n,\mathbb Z_2)$ es cero (porque $H^1(-,\mathbb Z_2)=\text{Hom}(H_1(-,\mathbb Z_2),\mathbb Z_2)$ y el mapa cero en los módulos duales induce el mapa cero en los propios módulos)

$\Rightarrow f_*:H_1(M)\rightarrow H_1(G_n)(=\mathbb Z_2)$ es cero (porque $H_1(-,\mathbb Z_2)=H_1(-)\otimes\mathbb Z_2$ y un mapa no nulo $M\rightarrow \mathbb Z_2$ de módulos induce un mapa modular no nulo $M\otimes\mathbb Z_2\rightarrow\mathbb Z_2\otimes\mathbb Z_2$ )

Ahora la proyección de $\pi_1$ a $H_1$ (hecho 3 anterior) de un espacio y $f_*$ resultan en un diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ \begin{CD} \pi_1(M) @>{h}>> H_1(M);\\ @VVV @VVV \\ \pi_1(G_n) @>{h}>> H_1(G_n); \end{CD}

Esto unido a la $\pi_1$ a $H_1$ siendo el mapa un isomorfismo en el caso de $X=G_n$ (hecho 3) implica que $f_*:\pi_1(M)\rightarrow\pi_1(G_n)$ es el mapa cero.

Así que por el criterio de elevación $f$ ascensores a $\tilde f:M\rightarrow \widetilde G_n$ , por lo que ahora $\xi=f^*\gamma_n=\tilde f^*\widetilde\gamma_n$ .

Desde el $\gamma_n$ es orientable, también lo es su pullback $\xi$ .

Para demostrar lo contrario,

Si $\xi$ es orientable, entonces existe un mapa $f:M\rightarrow\widetilde G_n$ tal que $f^*\widetilde\gamma_n=\xi$ .

Ciertamente tenemos $w_1(\widetilde\gamma_n)=0$ (tiene que ser, porque $\pi_1(G_n)=0$ De ahí que $H_1$ desaparece y lo mismo ocurre con los coeficientes en $\mathbb Z_2$ , lo que implica que $H^1(\widetilde G_n;\mathbb Z_2)=0$ vemos que $w_1(\xi)=f^*w_1(\widetilde\gamma_n)=0$ ) $\quad\square$