"Trucos" para resolver el determinante de una matriz

Question

Tengo un examen que se avecina, y estoy preocupado de que (como suelo hacer) cometa un error en algún cálculo algebraico menor en un problema grande como encontrar el determinante de una matriz de 4x4 o más grande. Es probable que me pidan que utilice la Expansión de Laplace, y me gustaría saber si hay alguna otra forma rápida y sucia que pueda intentar para asegurarme de que mi respuesta sea correcta. Considerando que no se me permite usar una calculadora, ¿hay algún otro método no estándar que pueda utilizar para intentar verificar una solución correcta?

Sé cómo encontrar el determinante sin problemas, pero soy muy propenso a cometer errores menores y no quiero tener que pasar demasiado tiempo revisando cada problema en detalle para asegurarme de que no omití algún signo negativo en algún lugar.

Answer 1

Si tienes tiempo, siempre puedes hacer el cálculo dos veces, una vez con la fila superior como punto de partida y otra (digamos) con la fila inferior. Por ejemplo: $$\begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}=$$ $$a(ei - fh) -b(di -fg) + c(dh - eg)$$ O: $$g(bf - ce) - h(af -cd) +i(ae -bd)$$

Por supuesto, estos dan el mismo resultado, solo que con un orden diferente de cálculos. Si calculas ambos manualmente y obtienes resultados diferentes, sabrás que tienes un error.

También se puede utilizar el método sugerido por Git Gud en los comentarios, es decir, agregar múltiplos escalares de las diferentes filas entre sí para obtener una matriz triangular. Un ejemplo resuelto se puede encontrar aquí.

Answer 2

Si la matriz está estructurada de tal manera que una cierta fila o columna tiene muchos ceros, asegúrate de aprovechar esto. Expandir a lo largo de dicha fila/columna reducirá la cantidad de cálculos que debes realizar, lo cual te ahorrará tiempo y, al mismo tiempo, reducirá el riesgo de error.

Answer 3

Puede considerar Condensación Pivotal.

PC reduce un determinante de $n\times n$ a un determinante de $(n-1)\times(n-1)$ cuyas entradas resultan ser determinantes de $2\times 2$. Simplemente itera hasta que tu determinante llegue a un tamaño razonable. (Puedes/debes detenerte en $3\times 3$, momento en el que es lo suficientemente fácil calcular el resultado final manualmente.)

Buscar en la web "condensación pivotal" te dará muchas explicaciones y ejemplos. Este documento incluso incluye una prueba simple. Este extenso video de YouTube pretende explicar el proceso, pero no lo vi completo.

La condensación pivotal puede ser extremadamente tediosa; puede o no ser eficiente en términos de tiempo en una situación de examen. Sin embargo, en cada etapa del proceso, calculas simples determinantes de $2\times 2$, que son muy fáciles y rápidos. Así que hay un compromiso. (Por supuesto, hay otro compromiso: con tantos cálculos, el peligro de cometer errores aritméticos estúpidos se acumula.)

He encontrado que la condensación pivotal es útil con ciertas matrices simbólicas (en particular, aquellas con términos trigonométricos), ya que me brinda una manera sistemática de (intentar) combinar elementos. En ese sentido, es uno de mis "trucos" favoritos.

Answer 4

No hay una forma estándar de calcular el determinante evitando esos errores, pero puedes usar algunos trucos antes de la Expansión de Laplace para simplificar tu matriz. De todos modos, los trucos que puedes usar dependen de tu matriz. Por ejemplo, si tiene dos filas similares, puedes reducir por filas para obtener muchos ceros que simplifican tu cálculo. En cambio, si usando la eliminación gaussiana puedes obtener rápidamente una matriz triangular, puedes usarla y luego calcular el determinante tomando el producto de las entradas diagonales.