"Trucos" para resolver el determinante de una matriz

Question

Tengo un examen próximo, y estoy preocupado de que (como suelo hacer) voy a cometer un error en algún cálculo algebraico menor en un problema grande como encontrar el determinante de una matriz 4x4 o más grande. Es probable que me pidan usar la Expansión de Laplace, y me gustaría saber si hay alguna otra forma rápida y sucia que pueda intentar para asegurarme de que mi respuesta sea correcta. Considerando que no se me permite usar una calculadora, ¿hay algún otro método no convencional que pueda usar para tratar de verificar una solución correcta?

Sé cómo encontrar el determinante sin problema, pero soy muy propenso a cometer errores menores y no quiero tener que pasar mucho tiempo revisando cada problema en detalle para asegurarme de que no omití un signo negativo en algún lugar.

Answer 1

Si tienes tiempo, siempre podrías hacer el cálculo dos veces, una vez con la fila superior como punto de partida y otra (digamos) con la fila inferior. Por ejemplo: $$\begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}=$$ $$a(ei - fh) -b(di -fg) + c(dh - eg)$$ O: $$g(bf - ce) - h(af -cd) +i(ae -bd)$$

Por supuesto, estos dan el mismo resultado, solo con un orden diferente de cálculos. Si calculas ambos a mano y obtienes resultados diferentes, sabrás que tienes un error.

También se puede usar el método sugerido por Git Gud en los comentarios, es decir, agregar múltiplos escalares de las diferentes filas entre sí para obtener una matriz triangular. Se puede encontrar un ejemplo trabajado aquí.

Answer 2

Si la matriz está estructurada de tal manera que cierta fila o columna tiene muchos ceros, entonces debes asegurarte de aprovechar esto. Expandir a lo largo de tal fila/columna reducirá la cantidad de cálculos que debes realizar, lo cual ahorrará tiempo y, al mismo tiempo, reducirá el riesgo de error.

Answer 3

Puede considerar condensación pivotal.

PC reduce un determinante de $n\times n$ a un determinante de $(n-1)\times (n-1)$ cuyas entradas resultan ser determinantes de $2\times 2$. Simplemente itere hasta que su determinante llegue a un tamaño razonable. (Puede/debe detenerse en $3\times 3$, momento en el cual es lo suficientemente fácil calcular el resultado final manualmente.)

Buscando en la web "condensación pivotal" encontrará muchas explicaciones y ejemplos. Este documento incluso incluye una prueba simple. Este extenso video de YouTube pretende explicar el proceso, pero no lo vi completo.

La condensación pivotal puede ser extremadamente tediosa; puede o no ser efectiva en términos de tiempo en una situación de examen. Sin embargo, en cada etapa del proceso, se calculan meros determinantes de $2\times 2$, que son súper fáciles y súper rápidos. Así que hay un balance. (Por supuesto, hay otro balance: con tantos por calcular, el peligro de cometer errores aritméticos estúpidos se acumula.)

De hecho, he encontrado que la condensación pivotal es útil con ciertas matrices simbólicas (en particular, aquellas con términos trigonométricos), ya que me proporciona una forma sistemática de (intentar) combinar elementos. En ese sentido, es uno de mis "trucos" favoritos.

Answer 4

No existe una forma estándar de calcular el determinante evitando esos errores, pero puedes usar algunos trucos antes de la Expansión de Laplace para simplificar tu matriz. De todas formas, los trucos que puedes usar dependen de tu matriz. Por ejemplo, si tiene dos filas similares, puedes reducir por filas para obtener una gran cantidad de ceros que simplifican tu cálculo. En cambio, si utilizas la eliminación gaussiana y obtienes rápidamente una matriz triangular, puedes usarla y luego calcular el determinante tomando el producto de las entradas diagonales.