Si$A^3B = BA^3$, entonces$AB = BA$.

Question

Sea$A$ una matriz hermitiana. Supongamos que existe una matriz$B$ tal que$A^3B = BA^3$. Muestra esa $AB = BA$.

Yo estaba tratando de usar el hecho de que como$A$ es Hermitian, existe una matriz unitaria$U$ tal que$UDU^* = A$, por lo tanto

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Así que$UD^3U^* B = BUD^3U^*$,$UD^3U^* B - BUD^3U^* = 0$ (multiplicando ambos lados por$D^3U^* BU - U^*BUD^3= 0$ y$U^*$.

Vamos$U$, entonces tenemos$U^* BU = C$, pero me quedo atascado desde aquí ...

Answer 1

Supongamos que la diagonal entradas de de $D$$\lambda_1,\lambda_2,\ldots, \lambda_n$. Deje $p(x)$ ser una interpolación polinomial tal que $p(\lambda_k^3)=\lambda_k$ por cada $k$. A continuación, puede mostrar que $p(A^3)=A$ (por ejemplo, debido a esto es cuando se limita a un eigenbasis), y es claro que $p(A^3)$ viajes con $B$.

Esto se basa en el hecho de que las verdaderas raíces cúbicas son únicas, por lo que el $p$ puede ser definido como se especifica. Usted puede ver por ejemplo que esto es falso para $A^2$, debido a $A^2$ podría haber repetido autovalores procedentes de distintos autovalores de a $A$. Concretamente, este sería el caso de la $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$.