¿Cuántas raíces tiene $f=x^4+x^2+2$ $\mathbb Q[x]/(f)$?

Question

¿Dado un irreducible $f\in \mathbb Q[x]$, cómo determinar el número de raíces de $f=0$ $\mathbb Q[x]/(f)$?

Para algunos ejemplos sencillos, sé cómo hacerlo. Si $f(x)=x^2+x-1$, los mapas $x\in\mathbb Q[x]/(f)$ $(-1+\sqrt 5)/2$ y $-x-1$ es otra raíz.

Si representará a $f=x^3-2$, $x\in\mathbb Q[x]/(f)$ $2^{1/3}$, y es la única raíz de $f=0$ $\mathbb Q[x]/(f)$, ya que las otras raíces son complejas.

Pero más complicado $f$, por ejemplo, $f=x^4+x^2+2$, no tengo ni idea cómo encontrar el número de raíces en el campo extendido. Gracias.

Answer 1

La manera más concreta de pensar acerca de esto es que, si tomamos una de las raíces como $r = \sqrt{-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{7}}{2}}$, que de las otras raíces podemos expresar en términos de $r$?

En este caso, tenemos $-r = -\sqrt{-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{7}}{2}}$, otra raíz de $f$. Las otras dos raíces son $\pm \sqrt{-1 - r^2}$, así que queremos saber si hay algún elemento de $\mathbb Q[x]/(f)$ plazas $-1-x^2$.

La fuerza bruta enfoque es tomar un elemento arbitrario $p = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3$, cuadrado, y comprobar si es posible conseguir la $p^2 = -1-x^2$. Esta es una dolorosa, pero realmente no es difícil de cálculo; usted verá rápidamente que cualquiera de las $a_0 = a_2 = 0$ o $a_1 = a_3 = 0$, y a continuación, obtener una ecuación cuadrática para resolver sin racionales de las raíces.

(Así que llegamos a la conclusión de que $\mathbb Q[x]/(f)$ tiene sólo dos elementos $t$ tal que $t^4+t^2+2=0$: $t= \pm x$.)

También podría ayudar a observar que si $p^2 = -1-x^2$,$(px)^2 = -x^2-x^4 = 2$. Estoy bastante seguro de que esto es una contradicción, pero yo en realidad no saben de qué estoy hablando cuando se trata de extensiones de campo, simplemente me sentí muy mal cuando me encontré con esta pregunta y vio a todo el mundo de la interpretación como "¿cómo puedo encontrar las raíces de $x^4+x^2+2=0$?"

Answer 2

En el caso de $ \mathbf Q(2^{1/3}) $, uno examina la situación local, mediante la incorporación de este campo en la conclusión de $ \mathbf Q $ (en este caso, $ \mathbf R $) y el uso de lo que sabemos acerca de la $ \mathbf R $ a deducir que no sólo puede ser una de las causas de $ X^3 - 2 $ en este campo de número. Podemos hacer algo similar para el campo $ \mathbf Q(\alpha) $ donde $ \alpha $ es una raíz de $ X^4 + X^2 + 2 $. De hecho, tenemos la factorización

$$ X^4 + X^2 + 2 = (X+2)(X+9)(X^2 + 5) \pmod{11} $$

lo que implica, por Hensel del lema, que $ X^4 + X^2 + 2 $ tiene exactamente $ 2 $ raíces en el campo de $ \mathbf Q_{11} $ $ 11 $- ádico números. Ahora, tenemos una incrustación $ \mathbf Q(\alpha) \to \mathbf Q_{11} $ mediante el envío de $ \alpha $ a cualquiera de estas raíces y se extiende; por lo tanto, desde el $ \mathbf Q(\alpha) $ entonces se dio cuenta de como un subcampo de la $ \mathbf Q_{11} $, también puede contener un máximo de dos raíces de $ X^4 + X^2 + 2 $. Sabemos que contiene al menos dos, ya que $ \alpha $ $ -\alpha $ son distintas raíces; por lo tanto contiene exactamente dos raíces.

Answer 3

Que $u=x^2$.

Entonces, $f = u^2+u+2$ cuyas raíces son $\dfrac{-1\pm\sqrt{1-8}}{2}=-\dfrac12\pm\dfrac{\sqrt7}2i$.

Ahora, usted puede encontrar todas las raíces de $4$, pero no se demostró aquí por razones obvias.