Mostrando $2^n -1$ no es primordial para $n > 2$ donde $n$ es incluso

Question

Se me pide que demuestre que $2^n -1$ no es un número primo si $n$ es par y $n > 2$ . Francamente, no sé por dónde empezar. Entonces, ¿cómo debería empezar a abordar esta cuestión?

Answer 1

Prueba 1: Factorización.

Dejemos que $n$ estar en paz. Entonces $n = 2k$ para algunos $k \in \mathbb{N}$ . Por lo tanto, $2^n-1 = 2^{2k}-1 = (2^k-1)(2^k+1)$ . El caso límite es $n = 4$ (ya que es el menor número entero par mayor que 2), pero claramente esto no es un problema ya que $2^2-1 = 3$ Así que $2^n-1$ siempre será compuesto para el $n$ s.

Prueba 2: Inducción para demostrar que $2^{2k}-1$ es divisible por 3 para todo $k>1$ .

El caso base es trivial.

Dejemos que $m\in\mathbb{N}$ y supongamos que $3$ divide $2^{2m}-1$ . Entonces $2^{2(m+1)}-1 = 2^{2m+2}-1 = 4\cdot2^{2m}-1 = 3\cdot2^{2m}+2^{2m}-1$ . Por lo tanto, $3$ divide $2^{2(m+1)}-1$ según sea necesario.

Answer 2

La forma estándar de resolver este problema, y lo que probablemente se espera que hagas, es la reescritura algebraica de $2^n - 1$ que las otras respuestas expondrán con todo detalle.

Pero si has pasado algún tiempo estudiando la $3x + 1$ conjeturas, se sugiere un enfoque ligeramente diferente, y quizás más entretenido. $x$ es un número entero, si es par, lo reduces a la mitad, pero si es impar, lo multiplicas por 3 y le sumas 1.

Lothar Collatz y otros creen, pero no han podido demostrarlo, que si se itera esta función partiendo de cualquier número entero positivo, al final se llega a 1, por ejemplo, partiendo de 12 se obtiene 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Obviamente, si su iteración llega a una potencia de 2, el resto de la iteración es un listado descendente de potencias de 2 hasta llegar a 1.

Y, como resulta, si $n$ es impar, entonces $2^n$ es alcanzable sólo a partir de un paso de reducción a la mitad, por ejemplo, la mitad de 16 es 8. Pero si $n$ es par, entonces $2^n$ es alcanzable a partir de un paso de reducción a la mitad o de un paso de tres más uno, por ejemplo $64 = 3 \times 21 + 1$ .

Eso es porque $2 \equiv 2 \pmod 3$ y $2^2 \equiv 1 \pmod 3$ . Desde $2 \times 1 = 2$ se deduce que $2^n \equiv 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, \ldots \pmod 3$ . Así que si $n$ está en paz, $$\frac{2^n - 1}{3}$$ es un número entero, y lo que es más importante para Collatz, un número entero impar.

Por lo tanto, para responder a su pregunta, si $x$ es un número entero positivo, la única manera, $3x$ puede ser un número primo, es si $x = 1$ que corresponde a la $n = 2$ caso de su pregunta.