¿Cómo funcionan las representaciones de dimensión infinita del grupo de Poincaré?

Question

Estoy familiarizado con las representaciones del grupo de Lorentz, que tienen la forma

\begin {equation} e^{- \frac {i}{2} \omega_ { \mu \nu }J^{ \mu \nu }} \end {Ecuación}

donde $J^{ij}=\epsilon^{ijk}R^k$ para $i,j=1,2,3$ son los generadores de rotaciones en el plano i-j (o en el eje k) y $J^{0i}=K^{i}$ para $i=1,2,3$ son los generadores de impulsos en la dirección i. Combinando estos dos conjuntos de generadores en $J_{\pm}=R \pm iK$ uno puede hacer dos subgrupos invariantes abarcados por los nuevos generadores, ambos satisfaciendo el álgebra de su(2). Entonces encontrar cada representación es simplemente encontrar cada $(2j_++1,2j_-+1)$ representación de cada álgebra su(2).

Sin embargo, como los boosts no son compactos, estas transformaciones no son unitarias, por lo que no se ajustan a la mecánica cuántica. Aquí es cuando me confundo, ¿cómo resuelve esto el grupo de Poincaré? si las representaciones finitas del grupo de Lorentz actúan sobre objetos de dimensión finita como los espinores $\psi$ o vectores $A_{\mu}$ ... ¿sobre qué actúan las representaciones de dimensión infinita del grupo de Poincaré? ¿Cómo se escriben los generadores?

Entiendo la idea de que en las representaciones de dimensión infinita las transfomaciones actúan sobre campos de vectores en lugar de sobre vectores, pero como las transformaciones son rígidas (es decir, no dependen de las coordenadas espacio-temporales) girar o potenciar un campo vectorial parece ser simplemente girar cada vector en un punto diferente del espacio de la misma manera, así que no veo la diferencia.

He intentado leer libros de introducción a la QFT como los de Schwartz, Ryder, Peskin o Maggiore, pero no entiendo del todo las implicaciones de las representaciones de dimensión infinita del grupo de Poincaré.

Siento los errores que pueda tener esto, estoy empezando a estudiar teoría de grupos y física de partículas y a veces es abrumador.

Answer 1

Extender el grupo de Lorentz al grupo de Poincare no resuelve este problema - la solución se encuentra en la forma en que los grupos de Lorentz y Poincare actúan sobre el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ de la teoría, que es de dimensión infinita. Si $\mathcal{H}$ fuera de dimensión finita, no admitiría representaciones unitarias (no triviales). Pero $\mathcal{H}$ no es de dimensión finita.

Si denotamos una transformación unitaria asociada a alguna transformación restringida de Lorentz $\Lambda$ por $\mathcal{U}(\Lambda)$ entonces los vectores de estado se transforman como $|\psi\rangle\mapsto \mathcal{U}(\Lambda)|\psi\rangle$ . Ahora supongamos que tenemos una colección $(\phi^a(x))$ de campos valorados por operadores. Utilizando la misma lógica que se utiliza para cambiar entre la imagen de Heisenberg y la de Schrodinger, podemos transformar los campos en lugar de los estados utilizando $\phi^a(x)\mapsto \mathcal{U}(\Lambda)^{-1}\phi^a (x)\mathcal{U}(\Lambda)$ . Los campos, en general, se mezclarán entre sí bajo esta transformación: \begin {Ecuación} \mathcal {U}( \Lambda )^{-1} \phi ^a(x) \mathcal {U}( \Lambda )=D_b^a( \Lambda ) \phi ^b( \Lambda ^{-1}x). \end {ecuación} No es muy difícil ver que $\Lambda\mapsto D_b^a(\Lambda)$ es una representación de $SO^+(1,3)$ . Por lo general, sólo consideramos campos finitos, por lo que podemos descomponer esta representación en representaciones irreducibles de dimensión finita de $SO^+(1,3)$ . Estas representaciones no necesitan ser unitarias ya que no son la representación que actúa en el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ - actúan en los campos.

He aquí un ejemplo: tomemos el caso de un campo vectorial $V^\mu(x)$ transformando como $V^\mu(x)\mapsto \Lambda_\nu^\mu V^\nu(\Lambda^{-1}x)$ . Entonces tenemos generadores $\mathcal{M}^{\mu\nu}$ que son operadores de $\mathcal{H}$ que satisfacen a $\mathcal{O}(\omega^2)$ : \begin {Ecuación} \mathcal {U} \left (1- \frac {i}{2} \omega_ { \mu\nu }J^{ \mu\nu } \right )=1- \frac {i}{2} \omega_ { \mu\nu } \mathcal {M}^{ \mu\nu }, \end {ecuación} por lo que: \begin {equation} e^{+ \frac {i}{2} \omega_ { \mu\nu } \mathcal {M}^{ \mu\nu }}V^ \alpha (x)e^{- \frac {i}{2} \omega_ { \mu\nu } \mathcal {M}^{ \mu\nu }}= \left (e^{- \frac {i}{2} \omega_ { \mu\nu }J^{ \mu\nu }} \right )^ \alpha_\beta \cdot V^ \beta ( \Lambda ^{-1}x). \end {Ecuación}

Answer 2

Me parece que te has desviado por una discusión poco útil en Schwartz. Hay muchas cosas que suceden aquí y que voy a esbozar brevemente.

Lo primero que quiero discutir brevemente es la relevancia de las representaciones del grupo LORENTZ frente a las representaciones del grupo POINCARE.

Grupo de Lorentz: Las representaciones son de dimensión finita, dadas por dos medios enteros $(j_1, j_2)$ y no unitario. No se incluye la traslación del espaciotiempo. Las representaciones de este grupo son representaciones de operadores locales de campo $\hat \phi_i(x)$ . Bajo una transformación de Lorentz, los índices de $\hat \phi_i(0$ ) se mezclarán mientras que el punto del espaciotiempo $0$ se arreglará. Dos ejemplos sencillos son el giro $0$ representación, donde $i$ es sólo $0$ y el $(1/2, 1/2)$ donde en su lugar utilizamos los símbolos $\hat A_\mu$ y $\mu = 0... 3$ . El hecho de que estas representaciones de dimensión finita (que sólo hacen malabares con los índices del campo) no sean unitarias carece totalmente de interés porque no hay un producto interno natural de los operadores locales, como ocurre con los estados, así que ¿a quién le importa que no sean unitarios?

Grupo de Poincare: Las representaciones son de dimensión infinita, unitarias, dadas (por el teorema de Wigner) por una masa $m^2$ y un giro medio entero, o en el $m = 0$ caso por una helicidad semientera. Estos corresponden a estados de las partículas . El hecho de que sean unitarios es importante porque se quiere que la acción del grupo preserve el producto interno natural sobre los estados. El hecho de que sean infinitamente dimensionales no es realmente inesperado, ¡lo mismo ocurre en la QM no relativista! Por ejemplo, en el espín $0$ los estados de una sola partícula vienen dados por un momento $| p \rangle$ . Bajo una transformación de Poincare,

$$ U(\Lambda, a) | p \rangle = e^{- i p a} | \Lambda p \rangle. $$

El hecho de tener que incluir un estado $| \Lambda p \rangle$ para cada transformación de Lorentz $\Lambda$ esta representación es infinitamente dimensional porque su base de estados de una sola partícula está abarcada por un número infinito de $p$ 's. Pero este es también el caso de la QM no relativista, que tiene una base abarcada por un número infinito de momentos, y no es especial para la teoría cuántica de campos, así que no es realmente un gran problema. Es cierto que el grupo de Poincare es no compacto debido a los impulsos, pero también es no compacto debido a las traslaciones, que es la razón por la que la MQ es infinitamente dimensional (hay un número infinito de posiciones).

Relación entre ambos: Se pueden crear estados de una sola partícula actuando sobre el vacío con operadores de campo. En el espín $0$ en el caso de un estado de una sola partícula viene dado por

$$ | p \rangle = \int d^3 x e^{- i \vec p \cdot \vec x} \hat \phi(\vec x) | 0 \rangle $$

y en el giro $1$ caso por

$$ | p, \varepsilon \rangle = \int d^3 x e^{- i \vec p \cdot \vec x} \varepsilon^\mu \hat A_\mu(\vec x) | 0 \rangle $$

(modulo quizás alguna medida de integración que he olvidado.) Aquí $\varepsilon^\mu$ es un vector de polarización que satisface $\varepsilon^\mu p_\mu = 0$ . Porque los estados de una sola partícula son superposiciones de estados como, por ejemplo, $\hat A_\mu | 0 \rangle$ Los espines de los estados de las partículas físicas se pueden encontrar restringiéndose a la parte de rotación del grupo de Lorentz, $U(R)$ y sólo utilizando la fórmula estándar de adición del momento angular, donde las representaciones irreducibles del $j_1 \otimes j_2$ la representación es $j_1 +j_2 \oplus j_1 + j_2 - 1 \oplus \ldots \oplus |j_1 - j_2|$ . Así que en el $(1/2, 1/2)$ representación del grupo de Lorentz, tenemos $1/2 \otimes 1/2 = 1 \oplus 0$ . Sin embargo, el no físico $0$ La representación se proyecta por la condición $\varepsilon^\mu p_\mu$ deshacerse de los estados normativos negativos, yadda yadda yadda. La cuestión es que $j_1 \otimes j_2$ dan los posibles giros de las partículas, pero algunos de ellos serán no físicos.

Sin embargo, el punto principal es que las representaciones de la Grupo de Lorentz se utilizan para hablar de operadores de campo mientras que las representaciones del Grupo de Poincare se utilizan para hablar de estados de las partículas . Una vez que te das cuenta de esto, es completamente razonable que las representaciones del grupo de Lorentz no sean unitarias (¿por qué deberían serlo?) y que las representaciones del grupo de Poincare no sean de dimensión finita (¿por qué deberían serlo?).