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Question

Tengo de buena fuente que el siguiente monstruosidad

$$I=\int_0^1 \sin\left(\sqrt{\frac{1-x}{x}}-\sqrt{\frac{x}{1-x}}\right)\frac{dx}{x\left(3x^2 - 3x +1\right)}$$

no sólo es convergente, pero tiene una analítica de la forma cerrada. Después de pasar un largo tiempo luchando con él yo no era capaz de convertirlo en una forma familiar, principalmente a causa de la función anidada dentro de la $\sin(\cdot)$ plazo que soy incapaz de deshacerse de.

Lo esencial singularidades del integrando acerca de $x=0$ $x=1$ hacen difícil incluso para aproximar la integral significativa de precisión, por lo que yo soy incapaz incluso de formular una conjetura en cuanto a la forma cerrada.

Tengo la esperanza de que algún alma caritativa será capaz de deshacerse de mí, de suspense y resolver el diablo encarnado que es esta integral.

Answer 1

$$\int_{0}^{1}\sin\left(\frac{1-2x}{\sqrt{x(1-x)}}\right)\frac{dx}{x(3x^2-3x+1)}\stackrel{x\mapsto\frac{1+z}{2}}{=}-4\int_{-1}^{1}\sin\left(\frac{2z}{\sqrt{1-z^2}}\right)\frac{dz}{(1+z)(1+3z^2)}$ $ A través de la sustitución $z=\frac{t}{\sqrt{4+t^2}}$ la última integral se convierte

%#% $ #% debido a la paridad y el teorema del residuo.