¿Existe un nombre para el teorema , $x^a - 1 \equiv 0 \mod {(x -1)}$ ¿Y cómo es mi prueba?

Question

Me di cuenta después de practicar algo de aritmética modular que:

$x$ , $(x-1)$$\space$ are$\space$ co-prime$ \space$ $\wedge$ $\space$ $ x $, $ (x-1) $ $\in$ $\mathbb {N} $ $\implies$ $ x^ \alpha \mod (x-1) $ = $ 1 $ : $\forall$ $\alpha$ $\in$ $\mathbb {N}$

¿Cómo se llama este teorema y quién lo demostró por primera vez?

Si alguien pudiera revisar el rigor de mi prueba sería útil:

Que el hipótesis se denotará como $p$ ': $x$ , $(x-1)$$\space$ are$\space$ co-prime$ \space$ $\wedge$ $\space$ $ x $, $ (x-1) $ $\in$ $\mathbb {N}$

Que el conclusión se denotará como $q$ ': $\forall$ $\alpha$ $\in$ $\mathbb{N}$ , $\space$ $x^\alpha \mod (x-1)$ = $1$

$p$ $\implies$ $q$ .

Prueba directa:

Tome el teorema $(A)^n \mod m$ $\iff$ $(A\mod m)^n \mod m$ : $A$ $\in$ $\mathbb{Z}$ , $\space$ $n$ , $m$ $\in$ $\mathbb{N}$ : $m$ $\neq$ $0$

Entonces, dado $p$ si tomáramos el módulo $(x-1)$ de $\space$ $x^\alpha$ : $\alpha$ $\in$ $\mathbb{N}$ ,

$x^\alpha \mod (x-1)$ $\iff$ $(x \mod (x-1))^\alpha \mod (x-1)$

Desde $x$ $-$ $(x-1)$ = $1$ (Dado $p$ ):

$(x \mod (x-1))^\alpha \mod (x-1)$ $\equiv$ $[1]^\alpha \mod (x-1)$

Lo sabemos, $\forall$$\alpha$ , $ 1^ \alpha = 1$

Por lo tanto, $[1]^\alpha\mod (x-1)$ $\equiv$ $[1] \mod (x-1)$

Así que, $\space$ $x^\alpha \mod (x-1)$ $\equiv$ $[1]$

Por lo tanto, $q$ .

$p \implies q$ .

$QED$ .

Answer 1

En primer lugar, permítame felicitarle por su entusiasmo, su curiosidad y su capacidad para preocuparse por las pruebas.

Ahora las malas noticias. Me temo que tu teorema es trivial.

$$x= (x-1)+1 \equiv 1 \mod (x-1)\\ x^{\alpha}\equiv 1^{\alpha} \equiv 1\mod (x-1).$$

Answer 2

Teorema: ( redactado de nuevo para facilitar la lectura ) $ \ $ Para dos enteros positivos cualesquiera $x$ y $\alpha$ : $$ x^\alpha - 1 \quad\mbox{ is divisible by }\quad x - 1. $$

Prueba: La diferencia $x^\alpha - 1$ se puede factorizar como $$ x^\alpha - 1 = (x-1)(x^{\alpha-1}+x^{\alpha-2}+\ldots+x+1). $$ Q.E.D.

Answer 3

¿Quién lo demostró primero?

De Wikipedia : La proposición 35 del libro IX de los Elementos de Euclides expresa la suma parcial de una serie geométrica en términos de los miembros de la serie. Es equivalente a la fórmula moderna $$ {x^\alpha-1\over x-1} = 1 + x + \ldots + x^{\alpha-1}. $$ Para una serie geométrica con términos enteros, la suma parcial $\displaystyle{x^\alpha-1\over x-1}$ es un número entero. (Otro replanteamiento de su teorema).

Answer 4

Módulo $x-1$ claramente $x$ es $1$ . Así que todos los poderes de la misma son también $1$ .

Answer 5

No tiene nombre, creo. Es una consecuencia de $$x\equiv y\pmod z\implies \forall n\in \mathbb N\;[\;x^n\equiv y^n\pmod z\;]$$ lo que se demuestra por inducción en $n$ utilizando el resultado básico de que $$[x\equiv y \pmod z\land x'\equiv y' \pmod z]\implies xx'\equiv yy'\pmod z.$$