¿Puede demostrarse irreducible utilizando el criterio de Eisenstein cada cúbica irreducible?

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo, y deje $f(X,Y) \in k[X,Y]$. Una forma común para mostrar que $f$ es irreductible, es considerar que la $f$ un elemento de $k[X][Y]$ o $k[Y][X]$ y usar el criterio de Eisenstein. Desde $k$ es algebraicamente cerrado, el primer distinto de cero ideales de $k[X]$ son de la forma$(X - x)$$x \in k$, y así aplicar Eisenstein en este camino, $f$ tendría que ser algo como

$$X^3 + g_2(Y-a)X^2 + g_1(Y-a)X + h(Y)(Y-a)$$

para $g_1, g_2 \in Tk[T], h \in k[T], h(Y-a) \neq 0$.

Ahora, $f$ es irreducible si y sólo si $f(\phi(X,Y))$ es irreductible, donde $\phi$ es una transformación afín de la forma $X \mapsto cX + dY + e, Y \mapsto fX + gY + h$, e $\textrm{det} \begin{pmatrix} c& d \\ f &g \end{pmatrix} \neq 0$. Así que es posible que uno puede probar $f$ es irreductible, mediante la aplicación de un cambio de variables y, a continuación, aplicar el criterio de Eisenstein.

Mi pregunta es, ¿hay ejemplos de irreductible cúbicos de polinomios para el cual no hay cambio de variables que van a permitir a la conclusión de irreductibilidad por el criterio de Eisenstein? Si tales existen ejemplos, en especial, quiero estar interesado en un ejemplo con $k = \overline{\mathbb{F}_p(t)}$.

Answer 1

Si usted está buscando en una curva suave de grado $3$, entonces no.

Esta será una curva elíptica. Si $P,Q,R$ son sus tres puntos en el infinito y $S$ es un punto tal que $3[S] = [P]+[Q]+[R]$, entonces el divisor $3[S]-([P]+[Q]+[R])$ es el divisor de la ecuación de una afín a la línea de $ax+by+c = 0$ que pasa a través de un punto triple.
Utilizando las coordenadas $(x-x_S)$$z = ax+by+c$, la ecuación se convierte en $(x-x_S)^3 = zg(x-x_S,z)$, y ya que es un punto habitual (se supone que la curva era suave) usted no puede tener $g(0,0) = 0$ o de lo contrario, tanto las derivadas parciales desaparecía allí.
Entonces se puede aplicar el criterio de Eisenstein ahí a deducir que la curva es irreductible.

En el caso de $S$ es un punto en el infinito puede que esto no funciona exactamente así, pero ya no se $9$ distintos puntos de $S$ y sólo tres puntos en el infinito, siempre se puede encontrar uno que no está en el infinito.