Encontrar el valor de $(\log_{a}b + 1)(\log_{b}c + 1)(\log_{c}a+1)$ $\log_{b}a+\log_{c}b+\log_{a}c=13$ y $\log_{a}b+\log_{b}c+\log_{c}a=8$

Question

Que $a,b$, y $c$ los números reales positivos tales que

$$\log_{a}b + \log_{b}c + \log_{c}a = 8$$

y

$$\log_{b}a + \log_{c}b + \log_{a}c = 13.$$

Cuál es el valor de

$$(\log_{a}b + 1)(\log_{b}c + 1)(\log_{c}a + 1) ?$$

He intentado convertir la cosa entera a registros fraccionarios y la expresión de multiplicar y sumar las dos ecuaciones pero no lo ayuda.

Answer 1

Como laboratorio bhattacharjee comentó, convertir a logaritmos naturales y obtener $$\log_{a}b + \log_{b}c + \log_{c}a = 8\implies \frac{\log (b)}{\log (a)}+\frac{\log (a)}{\log (c)}+\frac{\log (c)}{\log (b)}=8$$ $% $ $\log_{b}a + \log_{c}b + \log_{a}c = 13\implies \frac{\log (a)}{\log (b)}+\frac{\log (c)}{\log (a)}+\frac{\log (b)}{\log (c)}=13$ahora ampliar $$(\log_{a}b + 1)(\log_{b}c + 1)(\log_{c}a + 1)$$ which is $$\frac{\log (a)} {\log b} + \frac {\log (b)} {\log (a)} + \frac {\log (a)} {\log (c)} + \frac {\log (c)} {\log (a)} + \frac {\log (c)} {\log (b)} + \frac {\log (b)} {\log (c)} + 2$ $ estoy seguro de que puedes tomar de aquí y terminar.

Answer 2

Prefiero trabajar con exponentes en lugar de los logaritmos, aquí es cómo se podría abordar de esa manera, el uso de su ser posiblemente el mejor de la intuición en el manejo de poderes:

$$x + y + z = 8$$

$$u + v + w = 13$$

Con:

$$ a^x = b\,,\, b^y = c\,,\, c^z = a $$ y $$ b^u = a\,,\, c^v = b\,,\, a^w = c $$

A partir de esto se puede ver que:

$$ a^{x\,u} = b^u = a \; \Rightarrow \; x u = 1$$

Así, la segunda ecuación es en realidad:

$$ 1/x + 1/y + 1/z = 13 $$

Si se agregan las fracciones:

$$ yz + xz + xy = 13 \, x\,y\,z $$

Desde: $$ (1+x)(1+y)(1+z) = xyz + xz + yz + xy + x + y + z + 1 $$

Tenemos que averiguar qué es $xyz$. Pero:

$$ a^{x\,y\,z} = b ^{y\,z} = c^z = a \; \Rightarrow \; x y z = 1 $$

Ahora tenemos toda la información que necesitamos y el resultado es $23$.

Answer 3

Tenemos los siguientes:

$$(log_ab+1)(log_bc+1)(log_ca+1)=(\frac {logb}{loga}+1)(\frac {logc}{logb}+1)(\frac {loga}{logc}+1)$$

Expansión de rendimientos:

$$(\frac {logc}{loga}+\frac {logb}{loga}+\frac {logc}{logb}+1)(\frac {loga}{logc}+1)$$

$$=(\frac {loga}{loga}+\frac {logc}{loga}+\frac {logb}{logc}+\frac {logb}{loga} +\frac {loga}{logb}+\frac {logc}{logb}+\frac {loga}{logc}+1)$$

$$=(log_aa+log_ac+log_cb+log_ab+log_ba+log_bc+log_ca+1)$$

$$=(log_ab+log_bc+log_ca)+(log_ba+log_cb+log_ac)+2$$

Así finalmente vemos, a través de su condición inicial:

$$(log_ab+1)(log_bc+1)(log_ca+1)=8+13+2=23$$

Answer 4

Observe eso $$ \log_uv\log_vw=\dfrac{\log v} {\log u} \cdot\dfrac {\log w} {\log v} = \dfrac {\log w} {\log u} = \log_uw \quad \forall u, v, w > 0 $$ por lo tanto\begin{eqnarray} (\log_ab+1)(\log_bc+1)(\log_ca+1)&=&(\log_ab\log_bc+\log_ab+\log_bc+1)(\log_ca+1)\\ &=&(\log_ac+\log_ab+\log_bc+1)(\log_ca+1)\\ &=&\log_ac\log_ca+\log_ac+\log_ab\log_ca+\log_ab+\log_bc\log_ca+\log_bc+\log_ca+1\\ &=&\log_aa+\log_ac+\log_cb+\log_ab+\log_ba+\log_bc+\log_ca+1\\ &=&(1+\log_aa)+(\log_ab+\log_bc+\log_ca)+(\log_ba+\log_cb+\log_ac)\\ &=&1+1+8+13=23. \end{eqnarray}

Answer 5

He aquí cómo he resuelto este:

En primer lugar, ampliar la expresión. Para la concisión, se expresa en $(x+1)(y+1)(z+1)$:

$$(x+1)(y+1)(z+1) = xyz + \Big(xy + yz + xz\Big) + \Big(x + y + z\Big) + 1$$

Reconocemos inmediatamente que $x+y+z$ es simplemente la primera ecuación nos ha dado, con valor de 8.

Debe ser el caso de que el resto de los términos están relacionados (al menos parcialmente) a la segunda ecuación, así que vamos a jugar con el un poco. Hay una relación entre la segunda ecuación y los objetos en la primera?

Si usted no sabe la relación de la parte superior de la cabeza (se me había olvidado) $\log_b{a}$ sin duda se ve cerca de la $\log_a{b}$; expresando

$$\log_b{a} = x$$

$$\Leftrightarrow b = a^x$$

$$\Leftrightarrow 1 = x \log_b{a}$$

Rápidamente vemos que $\log_b{a} = \frac1{\log_a{b}} = \frac1x$, por lo que la segunda ecuación es justo

$$\frac1x + \frac1y + \frac1z = 13$$

Lo más natural es combinar los términos en el lado izquierdo para obtener

$$\frac{xy + xz + yz}{xyz} = 13$$

Esto es excelente, ya que se relaciona directamente con el paradero de los términos de nuestra expresión anterior y nos dice que $xy+xz+yz=13xyz$, por lo que

$$(x+1)(y+1)(z+1) = 14xyz + 9$$

Así que nos quedamos con la necesidad de conocer el valor de $xyz = \log_a{b} \log_b{c} \log_c{a}$, lo que parece cíclico. Recordando que $\log_b{a}$ $\log_a{b}$ tiene un inverso/cíclica relación, que $\log_b{a} \log_a{b} = 1$, podemos ver si una identidad similar podría deparar este caso extendido:

$$\log_a{b} \log_b{c} \log_c{a} = 1$$

Podemos comprobar que efectivamente este es el caso, por lo que el $xyz = 1$ y el resultado que $(x+1)(y+1)(z+1) = 23$ sigue inmediatamente.