Tres variables sistema de ecuaciones simultáneas

Question

$x + y + z = 4$
$x^2 + y^2 + z^2 = 4$
$x^3 + y^3 + z^3 = 4$

¿Alguna idea sobre cómo resolver $(x,y,z)$ satisfacer las tres ecuaciones simultáneas, siempre puede haber soluciones reales y complejas?

Answer 1

Para un número fijo de variables y fijos de potencia $n$ la suma de las potencias $$x^n + y^n + z^n + ... + w^n$$ es un polinomio simétrico.

Es expresable en términos de primaria simétrica polinomios. La primaria simétrica polinomios de tres variables son

• $e_1 = x + y + z$
• $e_2 = x y + x z + y z$
• $e_3 = x y z$

y su polinomios se expresa en términos de ellos son

• $x + y + z = e_1$
• $x^2 + y^2 + z^2 = e_1^2 - 2 e_2$
• $x^3 + y^3 + z^3 = e_1^3 - 3(e_1 e_2 - e_3)$

Ahora podemos encontrar los valores de $e_1,e_2,e_3$ evaluado en función de la $x,y,z$:

$e_1 = 4$, $e_2 = 6$, $e_3 = 4$.

Ahora consideremos el polinomio $(t - x)(t - y)(t - z) = t^3 - e_1 t^2 + e_2 t - e_3 = t^3 - 4 t^2 + 6 t - 4$.

Tiene las soluciones $t = 2, 1 + i$$1 - i$.

Así que ahora podemos comprobar si estos son correctos:

• $(2) + (1+i) + (1-i) = 4$
• $(2)^2 + (1+i)^2 + (1-i)^2 = 4 + 2i - 2i = 4$
• $(2)^3 + (1+i)^3 + (1-i)^3 = 8 + -2 + 2i -2 - 2i = 4$

Answer 2

Usted puede escribir las funciones elementales en términos de estas sumas de las potencias, para así poder obtener los coeficientes de un polinomio de la ecuación cuyas raíces son $x$, $y$, y $z$. Por ejemplo, el cuadrado de la primera ecuación y restando la segunda, se obtiene el valor de $xy+yz+xz$. Cubicación de la primera ecuación y usando lo que saben ahora, se obtiene el valor de $xyz$. En general, usted puede utilizar Newton identidades.

Answer 3

Si usted sólo quiere una respuesta, Wolfram Alpha hace poco trabajo, produciendo $(2,1+i,1-i)$ y todas las permutaciones de que. Usted esperar seis soluciones desde el producto de los grados. Usted puede fácilmente probar que x=y=z, y=z y encontrar una contradicción, lo que demuestra que los valores de x,y y z son todas diferentes. A continuación, en realidad sólo hay una solución, con permutaciones de dar las seis. Si la solución es real, la sustitución dé paso a un sexto grado del polinomio. Si la solución no es del todo real, usted debe tener un valor real y dos conjugado complejo de valores, a fin de establecer $y=a+bi, z=a-bi$ $x, a$ $b$ real. Esto le da

$\begin{align} &x+2a=4 \\ &x^2+2a^2-2b^2=4 \\ &x^3+2a^3-6ab^2=4 \end{align}$

que en realidad es más fácil que la versión real. Usted puede resolver el segundo para $b^2$, insértelo en la tercera a lo largo de con $x=4-2a$, y obtener un cúbicos que se han $a=1$ como una solución.

Traté de jugar con los polinomios simétricos, pero no encontró ninguna mancha de enfoque.