Comprender intuitivamente la adjunción de tensor-hom

Question

Actualmente estoy tratando de enseñar a mí mismo en alguna categoría de teoría. Recientemente, me enteré de que el producto tensor queda adjunto a la hom functor adecuados en las categorías, por ejemplo: espacios vectoriales lineales mapas, es decir, de espacios vectoriales $U$, $V$, y $W$,

$$\mathrm{Hom}(U \otimes V, W) \cong \mathrm{Hom}(U, \mathrm{Hom}(V,W))$$

Estoy tratando de ganar algo de intuición para adjoints mirando en casos especiales. Este es desconcertante de mí un poco. Aquí está uno de mis intentos de conseguir un asimiento de él:

Si mi interpretación es correcta, (covariante) $k$-tensor $\omega$ sobre un espacio vectorial $V$ puede ser definido de forma equivalente, como un elemento de la $k$veces producto tensor de la doble espacio $V^*$, es decir, $\omega \in \bigotimes_{i=1}^k V^*$ o en $k$-forma en $V$, es decir, un $k$-lineal mapa de $\omega: \bigoplus_{i=1}^k V \to \mathbb{R}$. Así, tenemos un bijection entre el $\bigotimes_{i=1}^k V^*$ y el conjunto de $k$formularios en $V$. Además, si $V$ es finito dimensional, entonces también tenemos el conocido isomorfismo $V^* \otimes V^* \cong \mathrm{Hom}(V,V^*)$.

A mí me parece que estas observaciones pueden ser interpretados como casos especiales de la contigüidad de arriba, o al menos están relacionados de alguna manera. En particular, hemos

$$\mathrm{Hom}(V^* \otimes V^*, V) \cong \mathrm{Hom}(V^*, \mathrm{Hom}(V^*,V))$$

¿Cuál es la forma correcta de interpretar estos hechos en el lenguaje de la categoría de teoría? Este puede ser generalizada a todos los que ayudan a dar más la intuición de la contigüidad en términos de las propiedades del tensor de productos?

Gracias!

Answer 1

el charrán ártico la respuesta es muy bonita y completa. Pero menos formalmente, la contigüidad realmente dice algo muy simple: Por la característica universal del producto tensor, una lineal mapa de $U \otimes V$ es la misma cosa como una bilineal mapa de $U \times V$. (I. e. el producto tensor se construyó precisamente para codificar bilinearity.) Y un bilineal mapa de $U \times V$ es la misma cosa que un lineal mapa de $U$ a los lineales de los mapas de $V$, por alarmada. (I. e., proceso de la bilineal mapa de $U \times V$ una rebanada $\{u\} \times V \cong V$ en un momento, para todos los $u \in U$, en lugar de todos a la vez). Connaturalidad sólo significa que esta identificación se comporta bien en condiciones lineal mapas.

Answer 2

Hay una de-versión linealizada de tensor-hom contigüidad, llamó alarmada en ciencias de la computación, de la cual los estados no es un bijection $\hom(U\times V,W)\cong \hom(U,\hom(V,W))$ en la categoría de $\mathsf{Set}$.

Considere la posibilidad de un arbitrario $\phi\in \hom(U\times V,W)$, es decir, una función de $\phi:U\times V\to W$. A través de la fijación $u\in U$, podemos considerar $\phi(u,-)$ a ser una función de $V\to W$. Por lo tanto la asignación de $u\mapsto \phi(u,-)$ puede considerarse una función de $U\to \hom(V,W)$, es decir, un elemento de $\hom(U,\hom(V,W))$. De esta manera, se han definido un mapa de$\hom(U\times V,W)$$\hom(U,\hom(V,W))$. Os dejo como ejercicio para determinar la forma de pensar de la inversa del mapa, y por lo tanto a la conclusión tenemos un bijection.

Hay una linealización functor $L:\mathsf{Set}\to\mathsf{Vect}$ (revisión de la base de campo de $F$ a nada) que envía un conjunto $X$ a la libre espacio vectorial (sobre $F$) generado por $X$. Os dejo como ejercicio para comprobar que $L$ es un monoidal functor, es decir, averiguar cómo funciona el $X\to Y$ se convierte en lineal mapas de $LX\to LY$ y cómo $L(X\times Y)\cong L(X)\otimes L(Y)$. Esto sugiere tensor-hom contigüidad proviene de la aplicación de linealización para la alarmada contigüidad.

De hecho, comenzando con $\phi\in \hom(U\otimes V,W)$, es decir, un bilineal mapa de $\phi:U\times V\to W$, podemos arreglar un vector $u\in U$ y considerar el lineal mapa de $\phi(u,-):V\to W$. La asignación de $u\mapsto \phi(u,-)$ es una función de $U\to\hom(V,W)$, lo que podemos comprobar es lineal, de manera que un elemento de $\hom(U,\hom(V,W))$, y de nuevo podemos calcular la inversa y, por tanto, a la conclusión de que este es un isomorfismo.

Homs entre espacios vectoriales puede estar relacionado con el tensor de productos y dual espacios así. De hecho, existe un isomorfismo natural $V^*\otimes W\cong \hom(V,W)$. (Uno debe considerar a $\mathsf{Vect}$ a "enriquecido" por lo que el $\hom(-,-)$ $\mathsf{Vect}$valores de bifunctor.) Dado un puro tensor $\phi\otimes w\in V^*\otimes W$, puede ser reinterpretado como un lineal mapa de $V\to W$ definido por $(\phi\otimes w)(v):=\phi(v)w$. Mediante la selección de bases para $V$ $W$ podemos demostrar este proceso de reinterpretación induce un isomorfismo entre el$V^*\otimes W$$\hom(V,W)$. Cuando se combina con $(V^*)^*\cong V$$(V\otimes W)^*\cong V^*\otimes W^*$, esto nos da una gran cantidad de energía cuando se trata de la manipulación de los tensores y homs de los espacios.

Yo también voy a señalar que hay "esquemática" interpretaciones de estas operaciones entre los espacios y sus manipulaciones y natural isomorphisms. Ver Qiaochu en dos partes entradas de blog sobre cadena de diagramas (Parte I, Parte II).

Answer 3

$\DeclareMathOperator{Hom}{Hom}$

Sólo quiero dar un ejemplo claro, donde he utilizado este tensor-hom contigüidad.

Decir que hemos finito de dimensiones interiores espacio del producto $(V,\langle,\rangle)$ y un subespacio $W\subset V.$, a Continuación, definimos el complemento ortogonal de $W$ $$W^\perp=\{v:(\forall w\in W)\langle v,w\rangle=0\}.$$ Sin embargo, me gustaría ver las $W^\perp$ más "algebraica".

Así que como te has dado cuenta, debido a la contigüidad, en mi interior espacio del producto $\langle,\rangle:V\otimes V\to\mathbb{R}$ puede ser visto como elemento de $\Hom(V,V^*).$ Vamos a denotar esta como $L_{\langle,\rangle}:V\to V^*.$ Explícitamente tenemos que $$(L_{\langle,\rangle}(v_1))(v_2)=\langle v_1,v_2\rangle.$$ Ahora considere la inclusión de $i:W\hookrightarrow V$ y asociados doble mapa de $i^*:V^*\to W^*.$ nos Vamos a calcular el núcleo de la composición de la $i^*\circ L_{\langle,\rangle}:V\to V^*\to W^*.$ Tenemos que $$\ker(i^*\circ L_{\langle,\rangle})=\{v:i^*(L_{\langle,\rangle}(v))=0\}=\{v:\forall(w\in W)L_{\langle,\rangle}(v)(w)=0\}=\{v:\forall(w\in W)\langle v,w\rangle=0\}=W^\perp.$$ Por lo tanto presentamos $W^\perp$ como un núcleo de algunos lineal de asignación.

Este enfoque también permite definir la no-degeneración, la reflexividad de mapeo bilineal en el lenguaje de los núcleos y de las imágenes. También se puede demostrar que dos mapas de $F:A\to B, G:B\to A$ son adjoint si y sólo si $L_{\langle,\rangle_B}\circ F=G^*\circ L_{\langle,\rangle_A}.$

De manera más compacta. -tensor de hom adjuntion permite traducir "conjunto teórico" en condiciones "algebraica". Funciona en ambos sentidos por el camino.