Dejemos que $p^k | n$ y $p^{k+1} \nmid n$ . ¿Existe alguna prueba combinatoria del hecho de que $p \nmid {n \choose p^{k}} $ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí hay una. Soy malo describiendo la combinatoria sin imágenes, así que por favor comenten si algo no tiene sentido.
Considere los arreglos en los que $n$ diferentes personas se sientan en una mesa circular con $n$ lugares, y $p^k$ de ellos tienen placas frente a ellos. Contamos el número de tales arreglos de dos maneras diferentes.
Primero, trivialmente, contamos ${n \choose p^k}$ tales acuerdos.
En segundo lugar, dividir todos los arreglos posibles en grupos de arreglos (clases de equivalencia, en realidad) de manera que dos arreglos pertenezcan al mismo grupo si uno es sólo una rotación del otro. Entonces, si algún grupo contiene, por ejemplo $m$ acuerdos, tenemos $m | n$ . Dejar $n = p^k a$ Esto significa que modulo $p$ No nos importa la mayoría de los grupos porque la mayoría de los grupos aportan un múltiplo de $p$ arreglos.
¿Qué grupos nos interesan? Bueno, nos importa cuando $m | n = p^k a$ pero $p \nmid m$ . Esto implica $m | a$ lo que significa que los arreglos en el grupo deben ser invariables cuando se rotan por $a$ . Los únicos arreglos que no se modifican bajo la rotación por $a$ son los que consisten en $p^k$ placas igualmente espaciadas, y todas estas disposiciones pertenecen al mismo grupo. Este grupo contribuye $a$ distintas disposiciones igualmente espaciadas, por lo que el número total de arreglos es congruente con $a$ modulo $p$ .
Así, hemos demostrado que $$ {p^k a \choose p^k} \equiv a \pmod {p} $$
En particular, si $p^{k+1} \nmid n$ tenemos que $p \nmid a$ así que $$ p \nmid {n \choose p^k}. $$
