Encontrar parte de la $\sum_{i=2}^{10000}\frac1{\sqrt{i}}$

Question

$$A = \frac1{\sqrt{2}}+\frac1{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{10000}}$$

Encontrar $\lfloor A\rfloor$ donde $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor que, o igual a $x$

Me quedé pegado en esto, así que cuando finalmente lo hice, me decidí a publicar aquí. Y por supuesto, siempre estoy buscando alternativas para seguir respondiendo.

Answer 1

Comenzamos señalando, $$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac2{\sqrt{k}+\sqrt{k}}\lt\frac2{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}$ $

Así tenemos, $$\frac{1}{\sqrt{k}}\lt \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} = 2(\sqrt{k} - \sqrt{k-1})$ $

Por lo tanto tenemos %#% $ #%

$$S=\sum_{i=2}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}} \lt \sum_{i=2}^{10000}2(\sqrt{k} - \sqrt{k-1}) = 2(\sqrt{10000}-\sqrt1) = 198$$

También,

$$\color{red}{A\lt198}\tag{1}$$

Y así,

$$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac2{\sqrt{k}+\sqrt{k}}\gt\frac2{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$$

Y por lo tanto,

$$\frac{1}{\sqrt{k}}\gt \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = 2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$$

$$S=\sum_{i=2}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}} \gt \sum_{i=2}^{10000}2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = 2(\sqrt{10001}-\sqrt2) \gt 197$$

La combinación de $$\color{red}{A\gt197}\tag{2}$ y $(1)$

$(2)$$

$$197\lt A \lt 198$$

Answer 2

$$\begin{align} 197 &< 2\left(\sqrt{10001}-\sqrt{2}\right) \\ &= \int_2^{10001} \frac{dx}{\sqrt{x}} \\ &< \color{blue}{\sum_{k=2}^{10000} \frac{1}{\sqrt{k}}} \\ &< \int_1^{10000} \frac{dx}{\sqrt{x}} \\ &= 198. \end {Alinee el} $$