¿Cuándo $(uv)'=u'v'?$

Question

En cualquier curso de cálculo, una de las primeras cosas que aprendemos es que $(uv)'=u'v+v'u$ en lugar de lo que he escrito en el título. Esto me hizo preguntarme: ¿cuándo es esto regla del producto de ensueño ¿es cierto? Por supuesto, hay ejemplos triviales, y también muchos casos en los que la igualdad es cierta en un puñado de puntos. Sin embargo, es menos obvio lo siguiente:

¿Existe una no-constante $u,v$ tal que existe un intervalo $I$ donde $(uv)'=u'v'$ en $I?$

Tengo la sensación de que debería haberla, pero me cuesta construir ese par.

Answer 1

Hay muchos casos en los que esto ocurre. Por simple álgebra, la relación $(uv)'=u'v'$ puede escribirse como $$\Bigl(\frac{u'}{u}-1\Bigr)\Bigl(\frac{v'}{v}-1\Bigr)=1$$ y esto lleva a $$\ln u(t)=\int\frac{v'}{v'-v}\,dt\ .$$ Tendrás que asegurarte de que la integral existe y da un resultado adecuado, pero esto debería darte una solución para muchas funciones $v$ .

Answer 2

Dejemos que $u$ y $v$ sean funciones de $t$ .
entonces $(uv)'=u'v'$
$\iff u'v+uv'=u'v'$
$\iff u'(v-v')+v'u=0$
$\iff u'+\frac {v'}{v-v'}u=0$
Sea u la función desconocida, entonces multiplique ambos lados por $e^{\int \frac{v'}{v-v'}}dt$ : $u'(e^{\int \frac{v'}{v-v'}dt})+(e^{\int \frac{v'}{v-v'}dt}\frac {v'}{v-v'})u=0 (*)$
Observe que $(e^{\int \frac{v'}{v-v'}dt})'=e^{\int \frac{v'}{v-v'}dt}\frac {v'}{v-v'}$ ,
por lo tanto (*) se convierte en: $u'(e^{\int \frac{v'}{v-v'}dt})+(e^{\int \frac{v'}{v-v'}dt})'u=0 $
o $(ue^{\int \frac{v'}{v-v'}dt})'=0$
o $ue^{\int \frac{v'}{v-v'}dt}=C$
o $u=Ce^{-\int \frac{v'}{v-v'}dt}$
Nota: Mientras se evalúa $\int \frac{v'}{v-v'}dt$ omita la constante de integración. $u$ y $v$ pueden sustituirse entre sí mientras la ecuación sigue siendo válida.
Sustitución de $u$ o $v$ por una función dada y asignar a C un valor determinado, podemos resolver el otro.
Por ejemplo, elija $v=t^2, C=1,integral constant=0$ entonces $u=e^{-\int \frac{2t}{t^2-2t}dt}=e^{-\int \frac 2{t-2}dt}=e^{-2ln|t-2|}=e^{ln \frac 1{(t-2)^2}}=\frac 1{(t-2)^2}$