Ejemplo del teorema del valor medio

Question

Qué es una prueba básica que existe $c\in (a, b)$ con

$$e^b-e^a=(b-a)e^c$$

¿sin cálculo, usando las propiedades estándar de la función exponencial?

* Cálculo me refiero derivados e integrales. El teorema del valor intermedio está bien, no es el teorema del valor medio.

** Cualquier definición primaria de la función exponencial está bien, pero sospecho que continuidad, monotonía y $e^{a+b}=e^a e^b$, $(e^{a})^b=e^{ab}$ deben ser más que suficientes para ello.

Answer 1

Tomar %#% $ #%

Edición: $$c=\ln\left(\frac{e^b-e^a}{b-a}\right).$. $a<c\iff e^a<\frac{e^b-e^a}{b-a}\iff b-a+1<e^{b-a}$ Es positiva. Por lo tanto, es obvio que $x:=b-a$.

Modificar $x+1<e^x=1+x+x^2/2+\cdots$: para mostrar que el $^2$ rendimientos para mostrar $c<b$. Ahora claramente $1<e^{b-a}(b-a+1)$ desde $1<xe^x+e^x$ % positivas $e^x>1$.

Answer 2

Para usar el teorema del valor intermedio, que $f(x)=e^x-\frac{e^b-e^a}{b-a}$. Es suficiente comprobar que el $f(a)<0$ y $f(b)>0$.

Cambio simple muestra $f(a)=\frac{e^a}{b-a}((b-a+1)-e^{b-a})$. Desde $b>a$, esto es negativo si $e^{b-a}>(b-a)+1$. Esto está claro en ambos la serie $e^x$, como b a > 0 y los términos son positivos para truncar a 2 términos sólo reduce el valor.

Del mismo modo, tenemos $f(b)=\frac{e^a}{b-a}((b-a-1)e^{b-a}+1)$. Esto es positivo si $e^{b-a}>\frac{1}{1-(b-a)}$. $y=b-a$, Esto está claro de la serie $e^y$ y la serie $\frac{1}{1-y}=1+y+y^2+...$ (suma de una serie geométrica).

Answer 3

Algo cercano a lo que usted quiere.

Que $a, b \in \mathbb{R}$ y que $a < b$. Si $f: x \mapsto e^{x} - \frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, entonces el $f$ es continua. $f(x) > 0$ $x \to \infty$ Y $f(x) < 0$ $x \to -\infty$, por el teorema de Bolzano (una versión especializada del teorema de valor intermedio para funciones continuas) hay algunos $c \in \mathbb{R}$ tal que $$ e ^ {c} = \frac{e^{b}-e ^ {un}} {b-a}. $$ Pero sospecho que hay pocas posibilidades para ubicar un punto dentro de $]a,b[$ sin cálculo...

Answer 4

$e^{x}$ es una función creciente convexa y $\frac{d}{dx}e^x=e^x$, por lo tanto si $a<b$ $$ e^{a}<\frac{e^b-e^a}{b-a}<e^b \tag{1}$ $holds, entonces el $\frac{e^b-e^a}{b-a}=e^{\xi}$ $\xi\in(a,b)$ por continuidad y monotonía.