Intuición de morfismos de módulos

Question

Deje $A$ ser un anillo. Introducimos la notación$$\text{Hom}(M, N) = \{A\text{-module morphisms }M \to N\}.$$Note that $\texto{Hom}_A(M, N)$ is an abelian group (under pointwise addition of functions). If $$ is commutative, then $\text{Hom}_A(M, N)$ has a natural $$-module structure: for $c \en$ and $f \en \text{Hom}_A(M, N)$, we define $cf \en \text{Hom}_A(M, N)$ by $(cf)(m) = c \cdot f(m)$. When $$ is not commutative, then the requirement that module morphisms satisfy $g(am) = a \cdot g(m)$, $\forall \en$, may fail for $cf$, in general, unless $c$ is in the center of $$.

Para cualquier módulo de $M$ y un elemento $m \in M$, la asignación de $f_m : x \mapsto xm$ da un morfismos $f_m: A \to M$ $A$- módulos. Esto produce un isomorfismo natural$$\text{Hom}_A(A, M) \leftrightarrow M,\text{ }f \mapsto f(1_A),\text{ }m \mapsto [f_m: x \mapsto xm]$$of abelian groups. Note that, in general, the above maps are not morphisms of modules, ulnless $Un$ is commutative since $\text{Hom}_A(a, M)$ does't have the structure of a left $$-módulo en general.

Ahora, a pesar de todo eso, todavía siento que no tengo muy buena intuición para morfismos de los módulos. Alguien podría prestarme su intuición para pensar o trabajar con ellos?

EDIT: estoy principalmente interesado en la intuición para este tipo de objetos en el contexto de la teoría de la representación y el álgebra no conmutativa.

Answer 1

Sólo tengo el algebro-geométrico "conmutativa" la intuición, y desde ese punto de vista los módulos son generalizaciones de vector de paquetes de más de $Spec A$, y el plano de los módulos son reales vector de paquetes --- localización de la $M$ en un primer ideal de $A$ es gratis, y esta es una condición suficiente para la planitud demasiado (por el rigor, probablemente tiene que tirar en algunos Noetherianity/finitud de hipótesis).

Ahora para que el vector de paquetes no es un functor covariante que envía un vector paquete a su módulo de secciones (por la forma en que usted puede pensar en formar el módulo de $Hom_A(A,M)$ como tomar secciones). Por desgracia, no se puede extender este functor a los módulos generales.

He encontrado una descripción de otra dualidad en un viejo libro de Fischer en la Compleja Geometría Analítica. Supongamos que trabajamos sobre un campo ahora, por lo $A$ $k$- álgebra, y supongamos $Y$ es un esquema sobre $X=Spec A$ junto con dos operaciones (más $X$) $+: Y \times_X Y \to Y$ y $\cdot: \mathbb{A}^1_k \times Y \to Y$, de tal manera que en $k$de los puntos, las fibras de $Y$ $X$ $k$- espacios vectoriales, con la adición de vectores y la multiplicación por escalares definidos por $+$$\cdot$. Llame a espacios como $Y$ espacios lineales, y definir morfismos entre ellos como los mapas que respecto a las dos operaciones. Entonces no es un functor contravariante de espacios lineales de los módulos: enviar un espacio lineal $Y$$Hom_{LS}(Y, \mathbb{A^1}\times X)$, este último tiene una estructura de $A$-módulo a través de las operaciones de $+$$\cdot$; se puede ver que este functor es una equivalencia de categorías.