¿Si $\{n_k\}$ es una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tales que $\lim \inf _{k \to \infty} n_k ^{1/2^k} >1$ $\lim _{k \to \infty} n_k^{1/2^k}$ no existe, y es verdad que el $\sum _{k=1}^ \infty \dfrac 1{n_k}$ es irracional?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Diego Fonseca
Puntos
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Si asumimos una condición adicional, entonces la afirmación es verdadera ; tenga en cuenta que si $\left\{n_{k}\right\}$ es estrictamente creciente secuencia de enteros positivos satisfacción de las hipótesis, $\left\{n_{k}\right\}$ no es de la siguiente forma:
$\left\{n_{k}\right\}$ es una secuencia tal que para algunos $N\in\mathbb{N}$, $n_k\leq 2^k$ al $k\geq N$.
En este caso, tenemos: \begin{eqnarray*} \lim_{k\rightarrow\infty}\ln\left(n_{k}^{1/2^{k}}\right) & = & \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(n_{k}\right)}{2^{k}} \\ &\leq& \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(2^{k}\right)}{2^{k}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{k\ln\left(2\right)}{2^{k}}=0 \end{eqnarray*} A continuación, $\lim_{k\rightarrow\infty}n_{k}^{1/2^{k}}=1$.
Además, $\left\{n_{k}\right\}$ no es de la siguiente forma:
No es $\left\{n_{k_i}\right\}$ una larga de $\left\{n_{k}\right\}$ tal que para algunos $N\in\mathbb{N}$, $n_{k_{i}}\leq 2^k_{i}$ al $i\geq N$.
En este caso, procediendo como en el caso anterior tenemos $\lim_{i\rightarrow\infty}n_{k_i}^{1/2^{k_i}}=1$, por lo tanto, $\liminf_{k\rightarrow\infty}n_{k}^{1/2^{k}}\leq 1$.
Por lo tanto, $\left\{n_{k}\right\}$ debe ser de la forma:
$\left\{n_{k}\right\}$ es una secuencia tal que para algunos $N\in\mathbb{N}$, $n_k\geq 2^k$ al $k\geq N$.
Pero todo esto no son las secuencias satisfacción de las hipótesis, tenga en cuenta que si $\left\{n_{k}\right\}$ es uno de esta secuencia de tal forma que hay una larga $\left\{n_{k_{i}}\right\}$ tal que $$n_{k_{i}+1}\leq n_{k_{i}}^{2}-n_{k_{i}}+1$$ for all $i$, a continuación, \begin{eqnarray*} \lim_{i\rightarrow\infty}\ln\left(n_{k_{i}+1}^{1/2^{k_{i}+1}}\right) & = & \lim_{i\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(n_{k_{i}+1}\right)}{2^{k_{i}+1}} \\ &\leq& \lim_{i\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(n_{k_{i}}^{2}-n_{k_{i}}+1\right)}{2^{k_{i}}}&\leq&\lim_{i\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(2^{\frac{n_{k_{i}}}{2^{n_{k_{i}}}}}\right)}{2^{k_{i}+1}} \\ &=& \lim_{i\rightarrow\infty}\frac{n_{k_{i}} \ln\left(2\right) }{2^{n_{k_{i}}}2^{k_{i}+1}}=0 \end{eqnarray*} A continuación,$\lim_{i\rightarrow\infty}n_{k_i}^{1/2^{k_i}}=1$, por lo tanto, $\liminf_{k\rightarrow\infty}n_{k}^{1/2^{k}}\leq 1$
Por lo tanto, $\left\{n_{k}\right\}$ debe ser de la forma:
$\left\{n_{k}\right\}$ es una secuencia tal que $$n_{k+1}>n_{k}^{2}-n_{k}+1$$ for all sufficiently large $k$, and such that for some $N\in\mathbb{N}$, $n_k\geq 2^k$ when $k\geq$N.
Vamos a demostrar que la instrucción para este tipo de secuencias, se sigue por el teorema de este trabajo tomando $b_{k}=1$$a_{k}=n_k$.
