Una Peculiar Estructura del Modelo en Simplicial Conjuntos?

Question

Me pregunto si hay un Quillen estructura del modelo, en la categoría de simplicial establece que generaliza el modelo habitual de la estructura, pero donde cada conjunto simplicial es fibrant? Quiero usar esto para hacer álgebra homológica para conmutativa monoids, pero primero permítanme explicar algunos antecedentes, mi motivación, y articular de manera más precisa lo que busco.

De fondo

Un Quillen estructura del Modelo en una categoría tiene tres clases de morfismos: fibrations, débil equivalencias, y cofibrations. Esta estructura le permite a uno hacer muchas avanzado homotopical construcciones que imitan el homotopy teoría de la (buena) espacios topológicos. Existe una noción de Quillen la equivalencia entre categorías de modelo que consta de un particular contigüidad entre las dos categorías de modelo en cuestión. Esto le da a usted "equivalente homotopy teorías" para las dos categorías de modelo en cuestión.

El Modelo habitual de la estructura de simplicial conjuntos ha fibrations el Kan fibrations, de los más débiles, de las equivalencias son los mapas que induce isomorphisms de homotopy grupos, y la cofibrations son los (levelwise) inclusiones. Esto es equivalente al modelo habitual de la categoría de espacios topológicos, y el Quillen equivalencia es realizado por el medico adjunto par de functors: la geométrica realización functor y el singular functor.

Quillen modelo de categorías también son útiles para hacer álgebra homológica, y en particular para trabajar con categorías derivadas. Razonable de abelian categorías hay varios agradable (Quillen equivalente) en el modelo de la categoría de estructuras en la categoría de (posiblemente limitado) los complejos de la cadena que uno puede usar el que reproducir el derivado de la categoría. Más precisamente, el homotopy categoría de la categoría de modelos es la derivada de la categoría y de la "homotopical construcciones" que he mencionado anteriormente, en este caso, se corresponden con la noción de (total) que se derivan del functor.

Esta historia se enriquece con la Dold-Kan correspondencia que es una equivalencia entre las categorías de forma positiva graduales de los complejos de la cadena de, digamos, abelian grupos y la categoría de simplicial abelian grupos.k.una. simplicial establece que también son abelian grupo de objetos. Esto a su vez se Quillen equivalente a un modelo de la categoría de topológico abelian grupos.

Anterior MathOverflow Pregunta y el Progreso

Anteriormente he hecho una pregunta en MO hacer álgebra homológica para conmutativa monoids. Tengo muchas fascinante y emocionante respuestas. Algunos fueron más o menos "aquí es algo que se puede tratar", algunos eran más como "aquí es un poco de lo que han hecho, pero la teoría no ha sido estudiado". Después de escuchar las respuestas que yo soy mucho más emocionado por el campo con un solo elemento. Pero aún así, al final ninguna de las respuestas realmente tenía lo que yo buscaba. A continuación, Reid Barton le preguntó su MO pregunta.

Esto me hizo pensar sobre conmutativa monoids y simplicial conmutativa monoids de nuevo. He tenido algunas buenas observaciones que tienen me llevan a la pregunta en cuestión.

1. La primera es que, aunque el simplicial abelian automáticamente al grupo de un Kan conjunto simplicial (es decir, si usted se olvida de la estructura de grupo abelian lo han sentado en frente de usted una Kan conjunto simplicial) este es no es el caso para simplicial conmutativa monoids. Un simplicial conmutativa monoid no tiene que ser un Kan conjunto simplicial.

2. A continuación, me di cuenta de que el (normalizada!) Dold-Kan correspondencia todavía parece funcionar. Usted puede ir de un simplicial conmutativa monoid a un "complejo" de monoids, ( y de nuevo es sólo una contigüidad. Gracias, Reid, para señalar esto!).

3. Si su simplicial conmutativa monoid es también un complejo de Kan, a continuación, en la Dold-Kan correspondencia que usted obtenga un complejo donde el objeto del fondo es un conmutativa monoid, pero todos los demás son abelian grupos (esto me fue apuntado por Reid Barton en una conversación que tuvimos hace poco). Así, la teoría de la topológico conmutativa monoids (que fue una de las respuestas que se sugieren a mi pregunta anterior), que tiene un buen modelo de estructura de categorías (ver Clark Barwick, la respuesta a un MO pregunta), debe ser equivalente a una teoría de los complejos de la cadena de este tipo. No debería modelo arbitrario de los complejos de la conmutativa monoids.

4. Si usted tiene un conjunto simplicial que es no necesariamente un Kan complejo todavía se puede definir el ingenuo simplicial homotopy "grupos" $\pi_iX$. Puse "grupos" entre comillas porque por un conjunto simplicial estos son sólo señaló conjuntos. Si el complejo es Kan, estos son automáticamente grupos ( $i>0$ ). Si su conjunto simplicial es un simplicial abelian grupo, estos son abelian grupos (para todos los $i$) y son precisamente los grupos de homología de la cadena compleja de quedar bajo el Dold-Kan correspondencia. Si su simplicial es conmutativa monoid, pero no Kan, entonces ellos son conmutativas monoids y de nuevo la "homología" monoids de la cadena compleja de quedar bajo el Dold-Kan correspondencia.

La Pregunta

Todo esto sugiere que debe haber un Quillen estructura del modelo en simplicial conmutativa monoids en el que el débil equivalencias son las $\pi_{\bullet} $-isomorphisms, donde aquí $\pi_{\bullet} $ denota el ingenuo simplicial versión, es decir, estos son conmutativas monoids, no grupos. Estoy seguro de que, si tal cosa era bien conocido, entonces habría sido mencionado como una respuesta a mi pregunta anterior. Realmente me gustaría ver algo que se generaliza la costumbre de la teoría de abelian grupos. De esa manera si hemos trabajado con simplicial abelian grupos y construir derivados de functors que acaba de reproducir las viejas respuestas. Como un trampolín, no debe ser un compañero de la estructura del modelo en simplicial establece que, creo, es más probable que sea notoriamente conocida.

Una de las propiedades que creo que este modelo hipotético de la estructura de simplicial conjuntos deben tener es que cada conjunto simplicial es fibrant, no sólo el Kan simplicial conjuntos.

Pregunta: ¿existe un modelo de estructura en simplicial conjuntos en los que cada conjunto simplicial es fibrant, y tales que la debilidad de las equivalencias entre el Kan complejos son exactamente los habituales débil equivalencias? Específicamente puede el débil equivalencias ser llevado a ser los mapas que inducen $\pi_*$-isomorfismo, donde estos son los ingenuos simplicial homotopy conjuntos?

Si este modelo de estructura existe, me gustaría saber tanto como sea posible acerca de ella. Si usted tiene cualquier referencia a la literatura, se lo agradecería esos también, pero la cuestión principal es como se presenta.

Answer 1

Así que la respuesta corta es que no hay un modelo de estructura. La dificultad surge en el intento de demostrar que la clase de la debilidad de equivalencias tiene todas las propiedades necesarias; en particular, dos de tres no se cumple para el ingenuo definición. La primera dificultad surge incluso antes de que: ordinaria simplicial conjuntos podemos organizar un modelo de cada serie que es "mínima" en la $\pi_0$-nivel, lo que significa que cada componente conectado tiene exactamente una $0$-simplex. En simplicial conmutativa monoids ya no podemos hacer esto. Sin embargo, se podría suponer que para ser un débil equivalencia que necesitamos para ser un $\pi_*$-isomorfismo la hora de elegir cualquier (forma coherente elegido) basepoints.

Para los propósitos de nuestra discusión vamos a suponer que $\pi_*$-equivalencias de uso el modelo de $S^n = \Delta^n/\partial\Delta^n$. (Este es el modelo que mejor imita los mapas de los límites en la Dold-Kan correspondencia.) Ahora vamos a $X = S^2$, y deje $Y$ $S^2$ con un $0$-simplex conectados por una $1$-simplex para el original punto de base. (Por lo que se ve como un globo en una cadena.) Se define un mapa de $X\rightarrow Y$ a ser la inclusión de $S^2$ en el obvio manera, y un mapa de la $Y\rightarrow X$ a ser el colapso de la $1$-simplex de la espalda baja. A continuación, la composición de estos dos mapas es la identidad en $X$, por lo que, obviamente, un débil equivalencia. El mapa de $X\rightarrow Y$ es también una débil equivalencia, ya que la adición de la "cadena" no se puede añadir ninguna nueva homotopy grupos de a $X$. Sin embargo, el mapa de $Y\rightarrow X$ no es un débil equivalencia, como $\pi_2Y$ basado en el punto extra es un punto de set, pero $\pi_2X$ a que su imagen está dos puntos de set.

El problema surgió porque en el fin de mostrar que $\pi_*$ era invariable de punto de base en la costumbre Kan complejo modelo que necesita para ser capaz de "pull back" simplices a lo largo de senderos en el conjunto simplicial, que utiliza el Kan condición. El nuevo modelo no tiene tal condición, y por lo tanto no necesariamente podemos tirar las cosas de nuevo.

Otra observación a lo largo de estas líneas. Tomar cualquier conectados conjunto simplicial $X$, y deje $Y$$X$, con una "cadena" que se agregan a la misma en cualquier punto de base. A continuación, $*\rightarrow Y$ (incluido en el nuevo punto) es un débil equivalencia, y $X\rightarrow Y$ (incluyendo en sí mismo) es un débil equivalencia. Así, en el homotopy categoría, $X$ es isomorfo a un punto (y por lo tanto la homotopy categoría es sólo la categoría de conjuntos) ... lo que es de suponer que no se desea.

-- El Bourbon seminario

Answer 2

Hay, por supuesto, al menos un modelo de estructura en cualquier categoría en la que cada objeto es tanto fibrant y cofibrant, pero no que es interesante: la débil equivalencias son sólo el isomorphisms y todo es una fibration y un cofibration. (-:

Sin embargo, estoy bastante seguro de que hay no un modelo de estructura en simplicial conjuntos en los que la cofibrations son los monomorphisms (como en el Kan y el Joyal las estructuras del modelo) y en el que todo es fibrant. De hecho, en general, de cualquier clase de cofibrations en una adecuada y bien comportado categoría hay una pequeña clase de la debilidad de equivalencias de la formación de un modelo de estructura (correspondiente a una clase más grande de fibrations), llamada la "izquierda determina la estructura del modelo." Por supuesto, cualquier modelo de la estructura con el mismo cofibrations luego será un izquierdo Bousfield la localización de la izquierda-determinado. Entonces podemos preguntar cuál es el fibrant objetos están en la izquierda, se determinó la estructura del modelo.

De izquierda determinado modelo de las estructuras fueron estudiados por primera vez por Rosicky y Tholen en "determinadas categorías de modelo y universal homotopy teorías," y la construcción era una descripción explícita por Olschok en "determinadas categorías de modelo para el local presentable categorías." De acuerdo a Olschok, en la estructura del modelo en simplicial establece que queda determinado por la monomorphisms, el fibrant objetos pueden ser descritos como aquellos para los que $X\to 1$ tiene la RLP relativa a la clase de los mapas de la forma

$$ i_n \;\square\; \gamma_i \;\square\; \gamma \;\square\; \dots \;\square\; \gamma $$

donde $\square$ denota un pushout producto, $i_n: \partial\Delta^n \hookrightarrow\Delta^n$ es la inclusión de un límite, $J$ es el nervio de la poca isomorfismo, $\gamma: 2\to J$ es la inclusión de los dos vértices, y $\gamma_0,\gamma_1:1\to J$ son las dos inclusiones de solo vértices. (Esto se desprende de su descripción por $2\to J \to 1$ es un (mono, trivial fibration) factorización, ver su Comentario 4.17.) Evidentemente no todos los simplicial tiene esta propiedad.

La mejor intuición que tengo hasta ahora para un objeto $X$ como este es que (1) si nos fijamos en las "equivalencias" en $X$, es decir, simplices equipado con especificada inversas, entonces estas equivalencias pueden ser "compuesto" y, por tanto, forman una especie (cúbica-ish) de $\infty$-groupoid (esto corresponde a la elevación por encima de los mapas con $n=0$), mientras que (2) la no equivalencia simplices puede no necesariamente ser compuesto, pero puede ser "transportado" a lo largo de equivalencias en sus límites (esto es $n\gt 0$).

Answer 3

Me he metido un poco perdido con las revisiones y preguntas, pero vamos a tratar de resumir algunas de las discusiones de los Borbones Seminario sobre esta cuestión.

En primer lugar, tenga en cuenta que el argumento habitual de que abelian grupo de objetos son automáticamente fibrant se cae por completo en el contexto de la conmutativa monoids. Más específicamente, el "menos fibrant" simplicial establece que hay que admitir un conmutativa monoid estructura.

Ejemplo. Considerar el "director de la columna" $P:=\Delta^1\sqcup^{\Delta^0}\Delta^1\sqcup^{\Delta^0}\cdots\sqcup^{\Delta^0}\Delta^1\subset\Delta^n$. El conjunto $P_0=\{0,1,\dots,n\}$ $0$- simplices admitir un conmutativa monoid estructura dada por tomar el máximo. Esto se extiende en un canónica de la moda para el conjunto simplicial $P$ sí. Observar que este tipo de ejemplo no satisface interior de hornos-llenado condición.

Segundo, para ampliar un poco sobre Reid con el comentario anterior, tenga en cuenta que, a diferencia de la situación con abelian grupo de objetos, la homotopy grupos de un conmutativa monoid basado en la identidad no se puede caracterizar a los débiles equivalencias, incluso entre fibrant objetos. Es decir, el functor $\pi_{\ast}:s\mathbf{Comm}\to\mathbf{Ab}^{\mathrm{gr}}$ no es conservadora en el sentido de que un mapa de $X\to Y$ entre Kan-fibrant conmutativa monoids es un débil equivalencia si y sólo si $\pi_{\ast}(X)\to\pi_{\ast}(Y)$ es un isomorfismo. (Por supuesto que lo sería si hemos restringido a la clase de objetos conectados.) Esto conduce a la siguiente, la cual debe estar en el corazón de cualquier Dold-Kan correspondencia.

Desafío. Encontrar un "algebraica" de la categoría de $\mathbf{A}$ y un conservador functor $\Pi:s\mathbf{Comm}\to\mathbf{A}$.

Por supuesto, hay un montón de pares $(\mathbf{A},\Pi)$ de este tipo. (Después de todo, la inicial es la homotopy categoría.) Pero no es obvio cómo algebraicas estas pueden ser hechas.

Answer 4

Joyal del modelo de categoría para quasicategories podría ser un paso en la dirección que va, a pesar de no responder a su pregunta en sí mismo. En particular, se ha más fibrant objetos de la habitual estructura del modelo, pero el mismo débiles de las equivalencias entre los complejos de Kan. (De hecho, la estructura más habitual es un Bousfield localización de la Joya de la estructura con el Kan de los complejos de la fibrant de objetos).