¿Por qué nos fijamos en las representaciones de $SO(3)$ en QM?

Question

Tengo un poco de una comprensión de la cuestión por la cual las representaciones de $SO(3)$ son tan importantes para la Mecánica Cuántica. Cuando se mira en su Irreps uno hace el Giro y el momento Angular de los operadores y por lo tanto su significado físico es bastante obvia.

Lo que no entiendo es por QUÉ estos Irreps dan lo que dan. Al introducir el momentum angular operador de cuantización canónica $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ donde $\vec{r}$ $\vec{p}$ son operadores se llega a un operador cuyas entradas satisfacer la conmutación de las relaciones que las imágenes de las Irreps de $SO(3)$ satisfacer así (es decir, $[L_1, L_2] = iL_3$ (hasta algunos $\hbar$s)).

Wigner del teorema nos dice que cada vector único operador que actúa sobre los estados que son autoestados de una rotación invariable operador (si la he entendido el teorema correctamente).

Mi principal pregunta es ahora: Es la declaración de $SO(3)$ como un grupo de simetría de un postulado? Es "obvio?" Si sí, ¿por qué? Cuando hablamos de las simetrías en mecánica clásica era un postulado (Noethers Teorema nos da una cantidad conservada por la simetría postulado de que las leyes de la naturaleza son las mismas en todas partes y constante en el tiempo) o también se podría calcular explícitamente (es decir, que un Hamiltoniano o Lagrangiano es invariante bajo el acta de ciertas operaciones, como las rotaciones). Cual (si alguna) de que es en el caso de $SO(3)$ y la Mecánica Cuántica?

Espero que alguien pueda arrojar algo de luz sobre esto para mí.

Answer 1

Usted ya ha recibido varias respuestas. Sin embargo, la física fundamental, la razón es elemental: clásica, cuántica y la física relativista de las leyes de la física que describe un sistema físico aislado en un marco de referencia inercial son los mismos (son invariantes) si gira (con un elemento de $SO(3)$) el sistema (hay muchas otras simetrías según la teoría, pero el punto es que las rotaciones son simetrías). Este es un postulado fundamental de toda la física, válido en pequeño (noncosmological) escalas al menos. Así, por ejemplo, una curva que describe la evolución del sistema en el espacio de los estados sigue siendo una curva que describe (otro) la evolución del sistema, si aplicamos la misma rotación a la antigua curva en cada momento. Hay muchos otros ejemplos. Usted entiende que, a menos que el espacio de estados en el espacio físico de isomorfo a $\mathbb R^3$, la acción de la $SO(3)$ en los estados no pueden ser aplicadas directamente a través de las matrices de $R\in SO(3)$. En lugar usted debe fielmente "representan" a los elementos del grupo de $SO(3)$ en términos de transformaciones naturales del espacio de estados. En la mecánica cuántica, por muchas razones teóricas (ya mencionado Wigner y Kadison teoremas), estas transformaciones naturales son dadas por el unitaria (y anti unitaria) de los operadores, como teórico consecuencia del hecho de que la más elemental espera que la preservación de la propiedad de estas simetrías es que de probabilty transiciones de pares de estados puros. (En realidad, uno debe usar proyectiva unitario de representaciones, pero creo que no es el caso entrar en detalles aquí.) Otra de las interesantes hecho de $SO(3)$ (en realidad $SU(2)$) de representaciones es que, debido a la compacidad del grupo, todos los posibles unitario de representaciones se construyen fuera de la irreductible queridos mediante el procedimiento estándar de la suma directa (esto no es un hecho trivial, porque por lo general uno debe lidiar con la mucho más complicado de la herramienta de la directa de la integral).

Answer 2

Uno puede hacer sentido de la introducción de $\mathrm{SO}(3)$ en la mecánica cuántica como sigue:

1. Considere la posibilidad de un sistema físico en un espacio de tres dimensiones que vamos a pensar de como residiendo en una caja sobre una mesa, como un tablero de experimento.

2. Supongamos que tenemos que preparar el sistema de una manera particular, por lo que el sistema se mide a estar en un (puro) estado $|\psi\rangle$.

3. Supongamos que tenemos alrededor de la caja con respecto a la medición del aparato. Este espaciales rotación será matemáticamente se describe por un elemento $R\in\mathrm{SO}(3)$.

4. Ahora nos preguntamos "¿cuál será el estado del sistema ahora que se ha girado con respecto a la medición del aparato?"

5. Para responder a esta pregunta, nos damos cuenta de que podríamos haber girado el sistema de acuerdo a la rotación $R\in\mathrm{SO}(3)$, por lo que realmente estamos buscando un mapeo $\alpha:\mathrm{SO}(3)\to\mathscr{F}(\mathcal H)$ que asigna a cada rotación $R$, en función de la $\alpha(R)$ que nos dice cómo de un estado determinado $|\psi\rangle$ cambios cuando el sistema está en funcionamiento. En otras palabras, $\alpha(R)(|\psi\rangle)$ va a representar el estado de la rotada del sistema.

6. Siguiente en que pensamos acerca de lo que las propiedades de esta asignación debe tener. En primer lugar, exigimos que cada asignación de $\alpha(R)$ ser surjective (como las rotaciones de sí mismos) y que conserva las probabilidades de transición (desde las rotaciones del sistema no se debe cambiar la física de las predicciones).

7. Aquí es donde el Teorema de Wigner en las simetrías en mecánica cuántica, a continuación, entra en juego. Se nos dice que tal asignación será representado por un unitario o antiunitary la asignación del espacio de Hilbert fase. Para $\mathrm{SO}(3)$, entonces puede demostrarse que cada una de las $\alpha(R)$ debe ser unitario debido a las rotaciones siempre puede ser escrito como cuadrados.

8. De ello se sigue (después de un poco más de argumentación) que la acción de las rotaciones sobre los estados de una mecánica cuántica sistema consta de un proyectiva, unitaria representación de $\mathrm{SO}(3)$ que actúa sobre el espacio de Hilbert del sistema. Más información sobre este paso a paso aquí: la Idea de Cubrir Grupo

9. El momento angular del operador, a continuación, cae naturalmente fuera de este, ya que se define como el generador infinitesimal de esta representación.

Answer 3

El grupo muy importante en la física es el grupo de Lorentz $SO(3,1)$. Es construido a partir de la $SO(3)$ grupo de Lorentz y aumenta. El álgebra de la Lorentz grupo de generadores (aumenta el $L_{i}$ y 3 rotaciones $R_{i}$) no tiene la separación en $SO(3)$ y aumenta las piezas. Pero por la introducción de la "nueva" generadores $J^{i}_{\pm} = \frac{1}{2}(R_{i} \pm iL_{i})$ podemos representar el grupo de Lorentz como el producto directo de dos $SO(3)$ o $SU(2)$ grupos de álgebra (la última es homomórfica a SO(3)). Estas representaciones tiene dimensión $2j_{\pm} + 1$. La suma de los autovalores de a $J^{3}_{+} + J^{3}_{-}$ se refiere a la vuelta. El spin juega un papel muy importante en la clasificación de la irrep del grupo de Lorentz (y por lo tanto en la clasificación de una partícula de estados). Pero, por supuesto, el grupo de Lorentz funciona mejor en lugar de con $SU(2)$ repeticiones, ya que puede describir tanto los fermiones y bosones.

También el SO(3) grupo juega un papel importante como el pequeño grupo de la enorme miembros del grupo de Poincaré. Como se puede demostrar en consecuencia, el cuadrado de uno de los Casimir operador de este grupo (la plaza de Pauli-Lubanski operador) da el cuadrado de $SO(3)$ grupo operador.