Aplicación representación $f(z)=w_0+\zeta(z)^n$ $\cos z$ (de Ahlfors ' análisis complejo).

Question

Estoy trabajando en un ejercicio que pide aplicar la representación $f(z)=w_0+\zeta(z)^n$$\cos z$$z_0=0$, y determinar el $\zeta(z)$ explícitamente. (Esto es de Ahlfors, página 133, ex. 3 por el camino).

Ahora $\cos(0)=1$, lo $w_0=1$. También, $\cos z-1$ tiene un cero en $z_0=0$ orden $2$. Para que yo pueda escribir $\cos z-1=z^2g(z)$ $g(z)$ analítica en $z_0$, e $g(z_0)\neq 0$. Tomando $z^2g(z)=\zeta(z)^2$, acabo de encontrar $\zeta(z)=\sqrt{\cos z-1}$, por lo que $$\cos z=1+\sqrt{\cos z-1}^2.$$

Estoy preocupada, he hecho esto correctamente? No me siento como que no he hecho nada de sustancia, así que creo que el ejercicio podría han estado pidiendo algo más.

Creo que Ahlfors se refiere a un teorema que indica

Supongamos que $f(z)$ es analítica en $z_0$, $f(z_0)=w_0$ y que $f(z)-w_0$ tiene un cero de orden $n$$z_0$. Si $\epsilon>0$ es lo suficientemente pequeño, existe un correspondiente $\delta>0$ tal que para todos los $a$ $|a-w_0|<\delta$ la ecuación de $f(z)=a$ tiene exactamente $n$ raíces en el disco $|z-z_0|<\epsilon$.

Después de la discusión a los estados a que, bajo la hipótesis de este teorema, podemos escribir $$f(z)-w_0=(z-z_0)^ng(z)$$ donde $g(z)$ es analítica en$z_0$$g(z_0)\neq 0$. Elija $\epsilon>0$, de modo que $|g(z)-g(z_0)|<|g(z_0)|$$|z-z_0|<\epsilon$. En este nbhd es posible definir un valor único de la analítica de la rama de $\sqrt[n]{g(z)}$ que denotamos por a $h(z)$. Así, hemos $$f(z)-w_0=\zeta(z)^n,\qquad \zeta(z)=(z-z_0)h(z).$$ Desde $\zeta'(z_0)=h(z_0)\neq 0$, la asignación de $\zeta\zeta(z)$ es topológico en un barrio de $z_0$.

Creo que la representación implícita es la relativa a los convenios de aquí.

Answer 1

Sugerencia: Tenga en cuenta que $1-\cos(2z)= 2\, \sin^2(z)$.