¿Cómo se $Gal(\mathbb Q(\sqrt{2+\sqrt{2}})/\mathbb Q)\cong \mathbb Z/4\mathbb Z$ ?

Question

$\def\Gal{\operatorname{Gal}}$ Estaba haciendo los deberes, y el problema empieza diciendo que anteriormente demostré (aunque no encuentro dónde) que con $\def\Q{{\mathbb Q}}\def\Z{{\mathbb Z}}F=\Q$ y $L=\Q(\sqrt{2+\sqrt{2}})$ , $G=\Gal(L/\Q)\cong \Z/4\Z$ . No entiendo cómo es posible.

El min poly para $\sqrt{2+\sqrt{2}}$ en $\Q$ es $x^4-4x^2+2$ cuyas raíces son:

$$ \def\a{{\alpha}}\a_1=\sqrt{2+\sqrt{2}},\,\a_2=-\a_1,\,\a_3=\sqrt{2-\sqrt{2}},\,\a_4=-\a_3 $$

por lo tanto $\def\s{{\sigma}}\def\t{{\tau}}\s\in G$ puede considerarse como una permutación del $\a_i$ . Tenga en cuenta que $\a_1\a_3 = \sqrt{2}$ . Así que $G = \{e, \s, \t, \s\t\}$ donde:

$$ \s(\a_1)=\a_2,\,\t(\a_1)=\a_3\\ \s(\a_2)=\a_1, \s(\a_3)=\s\left(\frac{\sqrt{2}}{\a_1}\right)=\frac{\sqrt{2}}{\a_2}=\a_4, \s(\a_4)=\a_3\\ \t(\a_3)=\t\left(\frac{\sqrt{2}}{\a_1}\right)=\frac{\sqrt{2}}{\a_3}=\a_1, \t(\a_2)=\t(-\a_1)=\a_4, \t(\a_4)=\a_2,\text{ so}\\ \quad\s\to(12)(34)\\ \quad\t\to(13)(24)\\ \quad\t\s\to(14)(23) $$

En este grupo, cada elemento es su propio inverso, por lo que esto debería significar que $G \not\cong \Z/4Z$ pero $G\cong V$ el grupo de cuatro de Klein.

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Si el grupo de Galois fuera $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$ entonces $L$ contendría dos subcampos cuadráticos. Uno de ellos es $\mathbb Q(\sqrt 2)$ ¿cuál es el otro?

De hecho, afirmo que $L$ no contiene ningún otro subcampo cuadrático. Una forma rápida de ver esto utilizando la teoría de números es que si $L$ contenía $\mathbb Q(\sqrt D)$ donde $D$ es impar, entonces $L$ se ramificaría por encima de algún primo impar. Pero el discriminante de $L$ divide el discriminante de $x^4-3x^2+2$ que es $32$ Por lo tanto $disc(L)$ es una potencia de $2$ . Así que $L$ no puede ramificarse por encima de ningún primo impar. Sin embargo, puedes hacer una prueba elemental.

Tu error está en presentar incorrectamente el grupo de Galois. ¿Cómo sabes que eso es lo que hace el grupo de Galois con las raíces?

Answer 2

$\def\a{{\alpha}}\def\t{{\tau}}\def\Gal{\operatorname{Gal}}\def\Q{{\mathbb Q}}$ Su error fue suponer que $\t(\sqrt{2})=\sqrt{2}$ ; $\t(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$ :

$$ \a_1 = \sqrt{2+\sqrt{2}}, \a_3 = \sqrt{2-\sqrt{2}}\\ \begin{align} \t(\a_3)&=\t\left(\frac{\sqrt{2}}{\a_1}\right)\\ &=\t\left(\frac{\color{red}{\a_1^2-2}}{\a_1}\right)\\ &=\frac{\a_3^2-2}{\a_3}\\ &=\frac{-\sqrt{2}}{\a_3}\\ &=-\a_1=\a_2 \end{align} $$

Y puesto que el $\a_1$ entonces tiene orden $> 2$ sabemos que $\t(\a_2)=\a_4, \t(\a_4)=\a_1$ . Obsérvese que no debemos preocuparnos si $\t(2)=2$ desde $\t\in G$ así que $\t$ fija $\Q$