Definición de definición

Question

Me preguntaba si hay una buena manera de "definir" la definición de lo que significa exactamente en matemáticas. Ya que las respuestas pueden ser subjetivas o filosófica, quiero pedir sólo para referencias sobre este tema. Así que estoy buscando referencias que responder a la pregunta

"¿Qué definición de media en matemáticas" en una forma concisa y de manera comúnmente aceptada.

y también por las referencias en las que se discuten los problemas filosóficos en relación con este problema (si las hay).

Answer 1

Me gustaría resumir mi opinión personal acerca de lo que "definición" significa en matemáticas de la siguiente manera:

"[M]eaning es el uso de palabras no se define por referencia a los objetos que ellos designen, ni por las representaciones mentales que uno podría asociar con ellos, pero por la forma en que se utilizan. (fuente)

y

"Los matemáticos no objetos de estudio, sino de relaciones entre los objetos. Por lo tanto, son libres para reemplazar a algunos de los objetos por otros, tan largo como el de las relaciones permanecen sin cambios. Contenido es irrelevante: los que están interesados." - Henri Poincaré

Por ejemplo, considere el símbolo "$\mathbb{Z}$". Si yo quería decirle a alguien lo que quiere decir, que yo podría escribir $$\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$$ o si estaban siendo culta, tal vez $$\mathbb{Z}\text{ is the infinite cyclic group.}$$ o $$\mathbb{Z}\text{ is the initial object in }\mathsf{Ring}.$$ Si yo hablara otro idioma, o utilizar un método diferente de la escritura de los números enteros, o utiliza una notación diferente para los juegos, estos parecen bastante diferentes. Pero estas diferencias son irrelevantes; incluso no importa si alguien mental de la concepción de los números enteros es radicalmente diferente a la mía. Lo que importa es que nuestros usos de acuerdo - si es el caso que, en cualquier momento tengo que escribir una declaración acerca de la $\mathbb{Z}$ que considero cierto, nadie está de acuerdo en que (modulo diferencias de idioma / notación) que es una verdadera declaración acerca de lo que sea es lo que piensan cuando ven "$\mathbb{Z}$", a continuación, funcionalmente, nuestro "definiciones" de acuerdo. Así que, no creo que la "definición" como un concepto formal en matemáticas (yo sabemos casi nada acerca de la lógica / teoría / metamathematics - sólo estoy expresando mi opinión). Incluso en la lógica formal, ¿cómo podemos esperar para definir los paréntesis? O "$\in$"? Acabamos de empezar a usarlas, y si la gente acepta lo que he escrito tiene sentido para ellos, que es la mejor que se puede esperar - podemos tratar de usar el lenguaje natural para transmitir nuestras concepciones mentales a otras personas, pero no podemos bucear en sus cabezas y comprobar que su concepción mental es en realidad el mismo. (Obviamente, intuiciones / las concepciones mentales, son de suma importancia en hacer matemáticas - no vamos a llegar a ninguna parte con el ciego de la manipulación de símbolos. Sólo estoy diciendo que todos podemos comprobar nuestro acuerdo, en son expresiones externas tales como las ecuaciones o frases.)

Por último, me gustaría añadir este cómic de SMBC:

Answer 2

¿Cómo puede haber 6 otras respuestas, sin embargo, nadie ha mencionado conservador extensiones y/o extensiones por definición? Este es el correcto marco en el que las definiciones de vista.

Answer 3

Para definir una palabra, incluso la palabra "definir", se necesita un lenguaje con el que la definen. Tratando de hacerlo en inglés es difícil, porque el inglés no es lo que nosotros llamamos un lenguaje formal. Un lenguaje formal es una lista de símbolos y una aceptable de la gramática de estos símbolos a seguir.

En matemáticas, generalmente utilizamos el lenguaje formal de Zermelo-Frankel la teoría de conjuntos (o ZFC) para hablar el uno al otro (aunque muchas de las formas alternativas han sido estudiados). En este idioma, me gustaría definir una definición para ser un finitely generado fórmula (¿aceptarías una infinitamente larga definición de algo?) de la teoría de conjuntos, que es legítimo, de acuerdo a la gramática cuyos cuantificadores gama más conocido previamente los resultados.

Por ejemplo, en ZFC la definición de "un número es Un número par si es un múltiplo de 2," puede ser escrito como "Si x es un número natural y existe otro número natural y de modo que x=2y, a continuación, definimos x como un número," en ZFC que, en el ámbito de aplicación de la teoría de conjuntos, es un legítimo frase cuya cuantificador ("todos") se extiende sobre el conjunto de los números naturales.

Una frase que no es definible sería algo así como "Llamada de un conjunto universal U si contiene todos los posibles conjuntos," porque definir es en ZFC, usted necesita una fórmula "Si U es un conjunto, de modo que para cualquier conjunto X, X es en U, entonces llamamos a U universal," esta fórmula se cuantifica sobre el conjunto de todos los conjuntos, que no es un conjunto de la Paradoja de Russell, por lo que este no es un legítimo definición.

Kurt Gödel estudiado "definible" estructuras en la teoría de conjuntos y vino para arriba con el edificable universo, llamado L, que es un concepto útil en el estudio de los modelos de la teoría de conjuntos. L es básicamente el "conjunto de cosas definibles por una fórmula de ZFC". En particular, bajo la suposición de que todo el universo de la teoría de conjuntos es en realidad igual a L, uno puede demostrar que la forma generalizada de hipótesis continua, uno de los mayores problemas en la teoría de conjuntos durante el siglo 20.

Answer 4

Referencias (de una filosofía de las matemáticas de la naturaleza):

• Bertrand Russell En Denotando.

• Ludwig Wittgenstein Tracticus Logico-Philosophicus.

• Wittgenstein obra posterior, Philosophische Untersuchungen/investigación Filosófica en la que Wittgenstein rechaza su anterior trabajo (y trata con el problema que has traido, más o menos directamente).

(Tenga en cuenta que Wittgenstein estudiado bajo Russell dirección en Cambridge, en Frege es una sugerencia).

Por último, para el contexto (y una comprensión más profunda de las fortalezas/debilidades de los lenguajes formales), es probable que desee para el estudio de un lenguaje formal o dos, y tal vez, además, el estudio de la Incompletitud de Gödel Teoremas.

Answer 5

No hay referencias de mí, lo siento, pero me permiten una rápida y handwaving respuesta.

La manera en que yo lo entiendo, una definición de algún objeto dentro de una teoría dada es una significativa acceso directo.

"Acceso directo", porque proporciona un nombre para un montón de ciertas propiedades que un objeto en la teoría puede tener o no tener; a continuación, cada vez que las propiedades tienen que ser conocidos, se utiliza el nombre. Y "significativo", en el sentido de que las propiedades se agrupan bajo el nombre, ya tienen una importante contraparte en el modelo de la teoría, o de lo contrario, resultan ser matemáticamente (leer "técnicamente") útil en la elaboración de la teoría.

Por supuesto, esto es todavía una comprensión limitada, incluso matemáticamente (como opuesto a "filosóficamente" supongo), al menos en que las definiciones son las establecidas en múltiples niveles de la vida cotidiana de la práctica de matemáticas, no sólo dentro de una determinada teoría, sino también en varios meta-niveles.

De hecho, como un aparte, creo que esta podría ser una pregunta clave a preguntar antes de probar las preguntas de la "invención vs descubrimiento" (consulte ¿hay alguna diferencia entre las matemáticas invención y descubrimiento de matemáticas? por ejemplo): ¿matemáticos elegir sus definiciones, o son estos forzado sobre ellos? Hay una respuesta uniforme a ser aplicado a todas las definiciones (dentro de una determinada teoría)? Et cetera.