Derivar las propiedades analíticas del logaritmo de una definición algebraica.

Question

Definición: El logaritmo de #% de base %#% ($a$) es la función definida por: $a\in]0,1[\cup]1,+\infty[$ y $\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)~~\forall x,y>0$

¿Si he usado esta definición del logaritmo como puede deducir el derivado de $\log_a(a)=1$ y $\log_a(x)$? Es necesario en la definición de la continuidad o debo reemplazarlo con otra propiedad (más débil o más fuerte) como continuidad uniforme, differentiability, continuidad del titular, etcetera.

Answer 1

Aquí tengo una solución parcial para el derivado de los logaritmos
(no sólo mediante la definición, he supongo la continuidad).

Por el conocido límite $$\lim_{n\to\infty}\Big(1+\dfrac{x}{n}\Big)^n=e^x,$ $ podemos conducir $$\lim_{\delta x\to 0}\Big(1+\dfrac{\delta x}{x}\Big)^{\dfrac{1}{\delta x}}=e^{\dfrac{1}{x}}.$$ Since Logarithm is a continuous function, taking the logarithm of both sides, we can obtain $% $ $\lim_{\delta x\to 0}\dfrac{\log_a\Big(1+\dfrac{\delta x}{x}\Big)}{\Big(\dfrac{\delta x}{x}\Big)}=\log_ae$

Let $f(x)=\log_ax,$ then $$\dfrac{f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x}=\dfrac{\log_a(x+\delta x)-\log_ax}{\delta x}=\dfrac{\log_a\Big(1+\dfrac{\delta x}{x}\Big)}{\Big(\dfrac{\delta x}{x}\Big)}\dfrac{1}{x}$$ $$f'(x)=\lim_{\delta x\to0}\dfrac{f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x}=\lim_{\delta x\to0}\dfrac{\log_a\Big(1+\dfrac{\delta x}{x}\Big)}{\Big(\dfrac{\delta x}{x}\Big)}\lim_{\delta x\to0}\dfrac{1}{x}$$ $$f'(x)=\dfrac{\log_ae}{x}$$

Answer 2

$x\ne0$, Tenemos (con $h'=hx$): $$\lim_{h'\to0}\frac{\log_a(x+h')-\log_a(x)}{h'}=\lim_{h\to0}\frac{\log_a(x+hx)-\log_a(x)}{hx}=\frac1x\lim_{h\to0}\frac{\log_a(x(1+h))-\log_a(x)}h.$ $

Y por la definición indicada, $$\lim_{h\to0}\frac{\log_a(x(1+h))-\log_a(x)}h=\lim_{h\to0}\frac{\log_a x+\log_a(1+h)-\log_a(x)}h=\lim_{h\to0}\frac{\log_a(1+h)}h,$ $ una función de $a$ solo, para que % $ $$(\log_a x)'=\frac{C(a)}x.$

Si existe el límite último, la función es diferenciable para ningún $x$.