Grupos entre un grupo y su terminación profinito

Question

Si $G$ y $H$ son grupos residualmente finitos finitamente generados tal que $G\leq H\leq \hat G$, donde $\hat G$ denota la terminación profinito $G$, lo hace seguir que %#% $ #%

¡Gracias!

Answer 1

Por la característica universal de profinite terminaciones, tenemos que mostrar que cada homomorphism de grupos de $G \to K$ donde $K$ es un profinite grupo, se extiende únicamente a un homomorphism de grupos de $H \to K$.

Así, sólo tenemos una opción: $G \to K$ corresponde a un homomorphism de profinite grupos $\hat{G} \to K$, y esto puede ser restringido a $H \leq \hat{G}$. Esto es claramente una extensión de $G \to K$.

Ahora, suponga que dos homomorphism $f,g : H \to K$ está de acuerdo en $G$. A continuación, $\hat{f},\hat{g} : \hat{H} \to K$ son homomorphisms de profinite grupos que están de acuerdo en $\hat{G}$. Luego también están de acuerdo en $H \leq \hat{G}$, es decir,$f=g$.