Demuestre que esta suma se evalúa como $\zeta(2)-1$

Question

Tengo conocimiento de la siguiente identidad:

$$\sum_{m=1}^\infty \left(\frac{1}{m}-\left(\zeta(2)-\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^2}\right)\right)=\zeta(2)-1$$

No sé cómo demostrar este resultado. Quizá tenga que ver con algunas propiedades específicas de $\zeta(x)$ pero no sé lo suficiente todavía. Si es posible, también, ¿se podría generalizar este resultado para mirar más que $\zeta(2)$

Answer 1

$\sum_{m=1}^\infty \left(\frac{1}{m}-\left(\zeta(2)-\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^2}\right)\right)=\zeta(2)-1$

Jugando por ahí y ver qué pasa.

Desde $\zeta(2) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ , el lado izquierdo es

$\begin{array}\\ \sum_{m=1}^\infty \left(\frac{1}{m}-\left(\sum_{n=m+1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\right)\right) &=\sum_{m=1}^\infty \left(\sum_{n=m+1}^{\infty}\left(\frac{1}{n-1}-\frac1{n}\right)-\left(\sum_{n=m+1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\right)\right)\\ &=\sum_{m=1}^\infty \left(\sum_{n=m+1}^{\infty}\left(\frac{1}{n(n-1)}\right)-\left(\sum_{n=m+1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\right)\right)\\ &=\sum_{m=1}^\infty \left(\sum_{n=m+1}^{\infty} \left(\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{n^2}\right)\right)\\ &=\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=m+1}^{\infty} \frac{1}{n^2(n-1)}\\ &=\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{m=1}^{n-1} \frac{1}{n^2(n-1)} \qquad\text{(Looking good!)}\\ &=\sum_{n=2}^{\infty}(n-1) \frac{1}{n^2(n-1)}\\ &=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}\\ &=\zeta(2)-1 \qquad\text{Shazam!} \end{array}$